Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma espiral de lituus definida pela equação r 2 θ = a 2 , onde a é uma constante. Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração da partícula como uma função de θ e suas derivadas temporais.

Passo 1

Primeiramente iremos escrever r em função de θ :

r 2 θ = a 2 → r = a θ - 1 2

Agora podemos calcular as derivadas de r:

r ˙ = a - 1 2 θ - 3 2 θ ˙

r ¨ = - 1 2 a - 3 2 θ - 5 2 θ ˙ 2 + θ - 3 2 θ ¨

Passo 2

Agora podemos encontrar as expressões para as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = - 1 2 a θ - 3 2 θ ˙

v θ = r θ ˙ = a θ - 1 2 θ ˙

Passo 3

Agora podemos calcular os valores da aceleração nas coordenadas r e θ :

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 1 2 a - 3 2 θ - 5 2 θ ˙ 2 + θ - 3 2 θ ¨ - a θ - 1 2 θ ˙ 2

a r = a 3 4 θ - 2 - 1 θ - 1 2 θ ˙ 2 - 1 2 θ - 3 2 θ ¨

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = a θ - 1 2 θ ¨ + 2 a - 1 2 θ - 3 2 θ ˙ ( θ ˙ )

a θ = a θ ¨ - θ ˙ 2 θ θ - 1 2

Resposta

v r = r ˙ = - 1 2 a θ - 3 2 θ ˙

v θ = r θ ˙ = a θ - 1 2 θ ˙

a r = a 3 4 θ - 2 - 1 θ - 1 2 θ ˙ 2 - 1 2 θ - 3 2 θ ¨

a θ = a θ ¨ - θ ˙ 2 θ θ - 1 2

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