Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade v = 12 - 3 t 2   m / s , onde t é dado em segundos. Quando t = 1   s , a partícula está localizada 10   m à esquerda da origem. Determine a aceleração quando t = 4   s , o deslocamento de t = 0 para t = 10   s e a distância que a partícula percorre durante este período.

Passo 1

Para uma dada velocidade, nada mais fácil do que calcular a aceleração! Basta derivar:

a = d v d t = d d t 12 - 3 t 2 = - 6 t

Logo, em t = 4   s , a aceleração fica

a = - 6 ⋅ 4 = - 24   m / s 2  

Passo 2

Agora, para determinar a posição para uma velocidade dada, tampouco tem mistério: basta usar a relação v = d s d t e em seguida obter o s . Olha só:

v = 12 - 3 t 2 = d s d t

Integrando entre t = 0 e t , obtemos

∫ o t 12 - 3 t 2 d t = ∫ 0 t d s

Resolvendo, ficamos com

12 t - t 3 = s - s 0 = ∆ s

Assim o deslocamento ∆ s entre t = 0 e t = 10 vale

∆ s = 12 ⋅ 10 - 10 3 = - 880   m

Passo 3

Agora tem pegadinha! CUIDADO! A distância total percorrida em 10 segundos é simplesmente o valor de s em t = 10 ? NÃOOOO!

Não te esquece de que s representa apenas a POSIÇÃO a partir da origem! A distância sempre será dada como uma variação de s .

É neste ponto que devemos usar a condição de que, quando t = 1   s , a partícula está localizada 10   m à esquerda da origem ( s = - 10 ). De fato, pela equação 12 t - t 3 = s - s 0 que deduzimos, isto significa que

12 ⋅ 1 - 1 3 = - 10 - s 0

Dai, s 0 = - 21   m , logo, a nossa equação pra s fica

s = 12 t - t 3 + s 0 = 12 t - t 3 - 21

De fato, esboçando um gráfico de s em função de t , temos algo assim:

Agora fica mais clara a pergunta: Quantos metros de fato caminhamos entre t = 0 e t = 10 ?

Bem, pelo gráfico, dá pra ver que a distância total percorrida entre t = 0 e t = 2 é

∆ s 0 - 2 = s 2 - s ( 0 )

Por outra parte, a distância entre t = 2 e t = 10 deve ser de

∆ s 2 - 10 = s 2 - s ( 10 )

Daí, a distância requerida é

∆ s 0 - 10 = ∆ s 0 - 2 + ∆ s 2 - 10 = 2 s 2 - s 0 - s 10

Dai,

∆ s 0 - 10 = 2 12 ⋅ 2 - 2 3 - 21 - 12 ⋅ 0 - 0 3 - 21 - 12 ⋅ 10 - 10 3 - 21 = 912   m

Resposta

a = - 24   m / s 2  

∆ s = - 880   m

∆ s 0 - 10 = 912   m

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