Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 300 mm. Se a sua posição é θ ˙ = 3 t 2 rad/s, onde t é dado em segundos, determine as instensidades da velocidade e aceleração da partícula quando θ = 45 ° . A partícula sai do repouso quando θ = 0 ° .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Trajetória circular;

Raio da trajetória: r = 300   mm;

Velocidade angular: θ ˙ = 3 t 2   r a d / s .

Devemos determinar a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando θ = 45 ° .

Além disso, sabemos que a partícula sai do repouso quando θ = 0 ° , ou seja, sua velocidade nesse ponto é v 0 = 0 m/s.

Vemos que θ ˙ é uma função de t , porém não nos foi dado nenhum dado sobre o tempo. Vamos assumir que em θ = 0 ° , t = 0 s.

Analisando as informações dadas, vemos que r é constante, logo sua derivada temporal será

d r d t = 0

A questão deve ser resolvida utilizando coordenadas polares pois se trata de uma trajetória circular.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o valor do tempo t em θ = 45 ° .

Sabemos que θ ˙ = 3 t 2 , logo

d θ d t = 3 t 2

Podemos reescrever a equação da seguinte forma

d θ = 3 t 2 d t

Integrando ambos os lados dentro utilizando a condição inicial θ = 0 ° quando t = 0 s, obtemos

∫ 0 ° θ d θ = ∫ 0 t 3 t 2 d t

θ = t 3

t = θ 1 / 3

Para obter o valor de t na unidade correga, devemos tranformar o ângulo θ de gras para radianos.

θ = 45 ° = 45 ° π 180 ° = 0,785   r a d

Logo, temos que em θ = 45 ° o valor de t é

t = 0,9226   s

Passo 3

Agora vamos encontrar a velocidade da partícula.

Sabemos que, por definição, a velocidade em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

v = v r 2 + v θ 2

Onde

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Portanto, para descobrirmos o valor de v , precisamos saber os valores de r , r ˙   e θ ˙ .

Já sabemos os valores de r e θ ˙ . Vamos descobrir o que falta:

Sabemos que r é constante, logo, sua derivada temporal é

d r d t = r ˙ = 0

Para t = 0,9226   s, temos

r = 0,3   m

r ˙ = 0

θ ˙ = 3 t 2 = 2,554   r a d / s

v r = 0

v θ = r θ ˙ = 0,7661   m / s

Substituindo esses valores na fórmula da velocidade, obtemos

v = v r 2 + v θ 2

v = 0 2   + 0,7661 2

v = 0,7661   m / s

Passo 4

Agora vamos encontrar a aceleração da partícula.

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Portanto, para descobrirmos o valor de a , precisamos saber os valores de r , r ˙ ,   r ¨ , θ ˙ e θ ¨ .

Já sabemos os valores de r , r ˙ e θ ˙ . Vamos descobrir os que faltam:

Sabemos que r é constante, logo, sua derivada temporal é

d r d t = r ˙ = 0

d 2 r d t 2 = r ¨ = 0

Sabemos que θ ˙ = 3 t 2 , portanto sua derivada temporal é

d θ ˙ d t = θ ¨ = 6 t

Para t = 0,9226   s, temos

r = 0,3   m

r ˙ = 0

r ¨ = 0

θ ˙ = 3 t 2 = 2,554   r a d / s

θ ¨ = 6 t = 5,536   r a d / s

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 0,3 2,554 2 = - 1,957   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0,3 5,536 + 0 = 1,661   m / s 2

Substituindo esses valores na fórmula da aceleração, obtemos

a = a r 2 + a θ 2

a = - 1,957 2   + 1,661 2

a = 2,567   m / s 2

Resposta

v = 0,7661   m / s

a = 2,5 7   m / s 2

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