Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 5 m. Se sua posição é θ = e 0,5 t rad, onde t é dado em segundos, determine a intensidade da aceleração da partícula quando θ = 90 ° .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Trajetória circular;

Raio da trajetória: r = 5   m;

Posição da partícula:   θ = e 0,5 t   r a d .

Devemos determinar a intensidade da aceleração da partícula quando θ = 90 ° .

Analisando as informações dadas, vemos que r é constante, logo sua derivada temporal será

d r d t = 0

A questão deve ser resolvida utilizando coordenadas polares pois se trata de uma trajetória circular.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o valor do tempo t em θ = 90 ° .

Para acharmos o tempo em segundos, devemos mudar a unidade do ângulo para radianos. Logo,

θ = 90 ° = 90 ° π 180 ° = π 2

Sabemos que θ = e 0,5 t , logo, em θ = π 2

π 2 = e 0,5 t

ln ⁡ π 2 = 0,5 t ln ⁡ e

t = 2 ln ⁡ π 2 = 0,9032   s

Passo 3

Em seguida, vamos determinar as derivadas temporais.

Como r é constante, suas derivads temporais serão

r ˙ = d r d t = 0

r ¨ = d 2 r d t 2 = 0

As derivadas temporais de θ = e 0,5 t são

θ ˙ = d θ d t = 0,5 e 0,5 t

θ ¨ = d 2 θ d t 2 = 0,25 e 0,5 t

Em t = 0,9032   s , obtemos

r = 5   m

r ˙ = 0

r ¨ = 0

θ = e 0,5 t = 1,571   r a d

θ ˙ = 0,5 e 0,5 t = 0,785   r a d / s

θ ¨ = 0,25 e 0,5 t = 0,393   r a d / s 2

Passo 4

Após todas essa análise, já temos dados suficientes para encontrar a aceleração a da partícula.

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme a fórmula abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Substituindo os valores encontrados nas fórmulas acima, obtemos

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 5 0,785 2 = - 3,081   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 5 0,393 + 0 = 1,964   m / s 2

Logo, a intensidade da aceleração será de

a = - 3,081   2 + 1,964 2

a = 3,66   m / s 2

Resposta

a = 3,66   m / s 2

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