Enunciado

Uma partícula move-se ao longo da trajetória y 2 = 4 x com uma velocidade escalar constante de v = 4 m / s . Determine as componentes x e y da velocidade e aceleração quando a partícula está em x = 4 .

Passo 1

Podemos encontrar uma relação entre os componentes x e y da velocidades da partícula calculando a primeira derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.

2 y y ˙ = 4 x ̇

y ˙ = 2 y x ̇

Ou podemos escrever da seguinte forma:

v y = 2 y v x

No ponto x = 4 m , podemos utilizar a equação da trajetória dada no enunciado da questão para encontrar o seguinte valor de y :

y 2 = 4 x

y = 4 ( 4 ) = 4 m

Assim, podemos substitui o valor de y na equação das velocidades encontrada anteriormente:

v y = 2 y v x

v y = 2 4 v x

v y = 1 2 v x

Passo 2

Podemos representar a magnitude da velocidade da pela seguinte equação:

v = v x 2 + v y 2

Substituimos v = 4 m / s e a nova equação encontrada no passo 1, temos:

4 = v x 2 + ( 1 2 v x ) 2  

Isolando v x nós encontramos o seguinte resultado:

v x = 3.578   m / s

Substituimos este resultado na equação encontrada no passo 1:

v y = 1.79   m / s

Passo 3

Assim como fizemos no passo 1, podemos encontrar uma relação entre os componentes x e y da aceleração da partícula calculando a segunda derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.

2 y ˙ y ˙ + y y ̄ = 4 x ̄

y ̇ 2 + y y - = 2 x ̅

Ou podemos escrever da seguinte forma:

v y 2 + y a y = 2 a x

Passo 4

No ponto x = 4 m , concluímos nos passo 1 que y = 4 m , e v y = 1,79   m / s . Substituímos esses valores na equação encontrada no passo 3:

1.79 2 + 4 a y = 2 a x

a y = 0,5 a x - 0.8

Passo 5

x = 4 m é:

∅ = t a n g - 1 d y d x no ponto x = 4 m

∅ = t a n - 1 1 x 1 2 ponto x = 4 m

∅ =   t a n - 1 0.5 = 26,57 ̊ °

a x c o s 26.57 ° + a y s e n 26.57 ° = 0

Formaremos um sistema com esta equação e a equação encontrada no passo 4. Resolvendo, encontramos:

a x = 0,32   m / s 2 e a y = - 0.64   m / s 2

Note que o sinal negativo indica que a direção da componente y da aceleração é contrária a que foi estabelecida inicialmente.

Resposta

Velocidade:

A componente x da velocidade da partícula é v _ x = 3.58   m / s

A componente y da velocidade da partícula é v _ y = 1.79   m / s

Aceleração:

A componente x da aceleração da partícula é a x = 0.32   m / s 2

A componente y da aceleração da partícula é a y = 0.64   m / s 2

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