Enunciado

Partindo do repouso, uma lancha desloca-se ao longo da trajetória circular ρ = 50   m , a uma velocidade escalar v = 0,8   t   m / s , onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da lancha no instante em que s = 20   m .

Passo 1

Fala pessoal, vamos começar com o pé direito resolvendo essa questão aqui?

Para podermos responder está questão, precisamos determinar qual o tempo t em que o barco percorre uma distância de 20   m . Para isto, precisamos obter inicialmente a função posição do carro. Desta forma, precisamos resolver as seguintes integrais:

∫ s 0 s d s = ∫ t 0 t v   d t

E resolvermos a equação acima pra s = 20 . Após determinarmos o tempo, poderemos voltar e calcular a intensidade da velocidade, as componentes da aceleração e por fim determinar a sua intensidade!

Passo 2

Vamos começar resolvendo as integrais! Como s 0 = 0 e t 0 = 0 , pois o barco saiu da origem, para a posição, temos:

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

Substituindo v = 0,8 t :

∫ 0 s d s = ∫ 0 t 0,8 t   d t

s = 0,8 t 2 2 = 0,4   t 2

Portanto, o tempo t em que s = 20   m é:

20 = 0,4   t 2

t = 7,07 s

Passo 3

Agora que determinamos o tempo t = 7,07   s , vamos calcular a intensidade da velocidade. Substituindo este valor da função velocidade, temos:

v = 0,8 ⋅ 7,07

v = 5,66   m / s

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para as componentes da aceleração. Começando pela componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 5,66 2 50 = 0,64   m / s 2

Já a componente tangencial é dada por:

a t = d v d t = 0,8   m / s 2

Após determinarmos ambas as componentes da aceleração, vamos calcular a sua intensidade! Sendo assim,

a = a t 2 + a n 2 = 0,64 2 + 0,8 2 =

a = 1,02   m / s 2

Resposta

v = 5,66   m / s

a = 1,02   m / s 2

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