Enunciado

O carro passa o ponto A com uma velocidade escalar de 25   m / s , após o qual a sua velocidade escalar é definida por v = 25 - 0,15 s   m / s . Determine a intensidade da aceleração do carro quando ele chega ao ponto B, onde s = 51,5   m .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

A questão agora é: qual o valor de x ? Como sabemos que s = 51,5 , temos que Δ x ≅ s para a função dada. Portanto, a coordenada x é 48,5   m (partiu de A, em x = 100 ). Já para calcularmos a aceleração tangencial, basta aplicarmos a regra da cadeia. Se v é uma função de s e s é uma função de t , temos:

a = d v d t = d v d s ⋅ d s d t

a = v ⋅ d v d s

Passo 2

Vamos começar determinando o termo da aceleração tangencial. Para isto, calcularemos:

a t = v ⋅ d v d s

a t = 25 - 0,15 s ⋅ - 0,15

a t = 0,0225   s - 3,75

Quando s = 51,5 , teremos:

a t = 0,0225 ⋅ 51,5 - 3,75

a t = - 2,59   m / s 2

Passo 3

Precisamos determinar também qual o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = - 2 x 625

y ' ' = d 2 y d x 2 = - 2 625

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 4 x 2 625 2 3 / 2 2 625

Quando x = 51,5 , temos:

ρ = 325,3   m

Passo 4

Agora, para calcularmos a componente normal, só nos resta determinarmos a velocidade no ponto. Para isto,

v = 25 - 0,15 ⋅ 51,5 = 17,3   m / s

Agora, calculando a componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 17,3 2 325,3 = 0.92   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = - 2,59 2 + 0,92 2

a = 2,75   m / s 2

Resposta

a = 2,75   m / s 2

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