Enunciado

Pede-se: (a) Mostrar que a tensão em um canto A de um membro retangular será nula, se a força vertical P for aplicada num ponto localizado sobre a linha

x b / 6 + z h / 6 = 1

(b) Mostrar também que se não ocorre tensão de tração no membro, é porque a força P está aplicada em um ponto localizado dentro da área limitada pela linha: da parte a   e mais três similares correspondentes a condição de tensão nula em B ,   C e D. (Esta área é conhecida como núcleo central da seção transversal.)

Passo 1

(a) Cara, o que ele quer é que a gente mostre que as coordenadas de P satisfazem essa equação, quando a tensão em A é σ A = 0 .

E como a gente faz isso? Vamos achar a expressão para a tensão no ponto A causada por essa força P aí, beleza? Para esses eixos, a equação da tensão normal em um ponto A para uma seção com uma força pontual aplicada é:

σ A = F A - M x z A I x + M z x A I z

Lembrando que o sinal de menos fica no termo com o momento que causa compressão na parte positiva dos eixos.

Vamos montar ela. Bora!

Passo 2

Vamos calcular as características geométricas da seção:

A = b h

I x = b h 3 12

I z = h b 3 12

z A = - h / 2

x A = - b / 2

Passo 3

Agora a gente calcula os esforços internos no centroide da seção, causados por P . Temos essas componentes:

- Força axial entrando na seção:

F = - P

- Momentos, de acordo com os eixos coordenados:

M x = P z

M z = - P x

Passo 4

Agora é substituir tudo na fórmulinha, sabendo que σ A = 0 . Fica assim:

σ A = F A - M x z A I x + M z x A I z

0 = - P b h - P z ( - h / 2 ) b h 3 12 + - P x ( - b / 2 ) h b 3 12

Arrumando:

0 = - P b h + P z b h 2 6 + P x h b 2 6 ∴ 0 = P b h - 1 + z h / 6 + x b / 6

E daí temos que:

- 1 + z h / 6 + x b / 6 = 0 ∴ 1 = z h / 6 + x b / 6

Olha só! Como queríamos provar!

Passo 5

(b) Para fazer essa a gente pode pensar o que significa no ponto A termos tensão igual a zero: Significa que a linha neutra passa por esse ponto somente e só há compressão nessa seção, por causa da força pontual.

Acontece que se tem essa linha onde P é aplicado, que faz a linha neutra passar pelo vértice A . Há linhas similares que fazem o mesmo para todos os outros vértices da seção.

Vamos localizar nossa linha na seção. Pela figura (e pela equação), ela passa pelos pontos:

z = 0

x b / 6 + z h / 6 = 1 ∴ x b / 6 + 0 h / 6 = 1 ∴ x = b / 6

x = 0

x b / 6 + z h / 6 = 1 ∴ 0 b / 6 + z h / 6 = 1 ∴ z = h / 6

Passo 6

Bora colocar ela na seção e analisar. A nossa linha é essa tracejada. Se P for aplicada sobre ela, a tensão em A zera.

Mas se ela for aplicada na área amarela, no ponto A vai aparecer uma tração (por causa do momento) e se for aplicada na parte azul, A terá compressão.

Queremos que em A só haja compressão, então nossa força P só pode ser aplicada na área azul.

E gente sabe que existe uma linha semelhante a do item (a) para todos os vértices, dividindo a seção em uma área onde P deve ser aplicada para que só haja compressão e numa que P vai causar tração, para cada um desses vértices.

Se a gente fizer a interseção entre a áreas onde P pode ser aplicado para que só haja compressão nos vértices (baseado nas localizações das retas semelhantes a do item (a)), temos:

Para só ocorrer compressão em todos os vértices, nossa força precisa ser aplicada nesse losango azul. Aí é exatamente a região que ele chama de núcleo central.

Se em todos os vértices só há compressão, significa que não há tração nenhuma na seção causada por P . E isso é o que ele pede para provar! Arrasamos!

Resposta

Prova nos passos

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