Enunciado

A viga do Prob. 4.170 está submetida a um momento M y atuando em um plano horizontal. Mostre que a tensão no ponto A é:

σ A = z I z - y I y z I y I z - I y z 2   M y

Passo 1

Olha, aqui a gente vai ter que montar uma expressão para essa tensão causada pelo momento em y e tentar chegar em:

σ A = z I z - y I y z I y I z - I y z 2   M y

Se a gente considerar que as tensões permanecem dentro do limite de proporcionalidade do material (regime elástico), dizemos que a tensão no ponto A é proporcional a distância dele ao eixo z e ao eixo y .

Com isso, podemos escrever uma expressão genérica para σ A :

σ A = c 1 y + c 2 z

Onde c 1 e c 2 são constantes. Aí a gente pode achar o valor dessas constantes para a situação do enunciado. Vem comigo!

Passo 2

Podemos lembrar que uma fórmulinha para o somatório de momentos em relação a z é:

M z = - ∫ y σ x d A

E se a gente substituir nossa expressão para a tensão:

M z = - ∫ y c 1 y + c 2 z d A = c 1 ∫ y 2 d A + c 2 ∫ y z d A

Mas repara que essa primeira integral que apareceu é a definição de I z e a segunda é a definição de I y z :

M z = - c 1 I z - c 2 I y z

E agora a gente pode lembrar que no nosso problema, só há momento em y . Então o momento em relação a z é zero:

M z = 0 ∴ - c 1 I z - c 2 I y z = 0 ∴ c 2 = - c 1 I z I y z

Passo 3

O somatório de momentos em relação a y tem uma carinha parecida:

M y = ∫ z σ x d A

Substituindo nossa tensão:

M y = ∫ z c 1 y + c 2 z d A = c 1 ∫ y z d A + c 2 ∫ z 2 d A

De novo aparece as definições de I y z na primeira integral e de I y na segunda:

M y = c 1 I y z + c 2 I y

Mas a gente tem uma expressãozinha para c 2 :

M y = c 1 I y z + - c 1 I z I y z I y ∴ c 1 = M y I y z - I z I y I y z = I y z M y I y z 2 - I y I z = - I y z M y I y I z - I y z 2

E voltando para achar c 2 :

c 2 = - c 1 I z I y z = - - I y z M y I y I z - I y z 2 I z I y z = I z M y I y I z - I y z 2

Passo 4

Podemos voltar lá para nossa expressão e substituir as constantes:

σ A = c 1 y + c 2 z

σ A = - I y z M y I y I z - I y z 2 y + I z M y I y I z - I y z 2 z

σ A = z I z - y I y z I y I z - I y z 2   M y

Olha só! Era onde a gente queria chegar. Arrasamos!

Resposta

Prova nos passos

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