Enunciado

Um pequeno bloco desliza com uma velocidade v = 2,4   m / s sobre uma superfície horizontal a uma altura h = 0,9   m acima do chão. Determine (a) o ângulo θ em que ele deixará a superfície cilíndrica B C D , (b) a distância x em que ele baterá no chão. Despreze o atrito e a resistência do ar.

Passo 1

Vamos lá! Esta é uma questão longa, que precisamos dividir em duas partes. Primeiro, precisamos descobrir qual o ângulo θ em que o bloco irá descolar da superfície. Depois disto, vamos utilizar as equações da cinemática para descobrir o valor de x do ponto E .

Mas, cada coisa a seu tempo. Vamos começar pelo ângulo θ . Devemos começar com o seguinte questionamento: o que é necessário acontecer para que o bloco descole da superfície???

Para que isto ocorra, é necessário que a força normal seja nula! Desta forma, vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do nosso problema. Sendo assim, temos:

Passo 2

Agora que temos o diagrama de corpo livre, podemos fazer o somatório de forças na direção normal a trajetória. Cuidado para não esquecerem que o bloco possui uma aceleração centrípeta nesta direção!

Sendo assim, temos:

∑ F n = m a n

W cos ⁡ θ - N = m v c 2 h

m g cos ⁡ θ - N = m v c 2 h

Como assumimos que a força normal é nula neste ponto, temos:

v c 2 = g h cos ⁡ θ

Chegamos assim a nossa primeira relação, entre a velocidade e o ângulo θ . Precisamos agora de uma segunda equação para resolvermos este enigma!

Passo 3

Nossa segunda equação sairá do princípio de trabalho e energia. Aqui iremos correlacionar o trabalho da força peso (e consequentemente o ângulo θ ) com a velocidade do bloco.

Desta forma, vamos começar escrevendo as relações de energia cinética e trabalho. Portanto,

T 1 = m v 2 2

T 2 = m v c 2 2

U 1 → 2 = - m g Δ h = m g h 1 - cos ⁡ θ

Portanto, pelo princípio de trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

m v 2 2 + m g h 1 - cos ⁡ θ = m v c 2 2

v c 2 = v 2 + 2 g h 1 - cos ⁡ θ

E assim conseguimos a nossa segunda equação com as duas incógnitas.

Passo 4

Agora nosso trabalho é resolver o sistema de equação abaixo e descobrir o valor de θ . Desta forma, temos:

v c 2 = v 2 + 2 g h 1 - cos ⁡ θ v c 2 = g h cos ⁡ θ

v 2 + 2 g h 1 - cos ⁡ θ = g h cos ⁡ θ

2,4 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,9 1 - cos ⁡ θ = 9,81 ⋅ 0,9 cos ⁡ θ

5,76 + 17 , 658 - 17,658 cos ⁡ θ = 8,829 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 17,658 + 5,76 26,487 = 0 , 884

θ = 27,9 °

E assim resolvemos a letra a) da nossa questão!

Passo 5

Agora vamos para a letra b) da nossa questão. Devemos aqui determinar o comprimento x que o bloco percorre após descolar da superfície.

No ponto C , ao descolar, o bloco possui uma velocidade v c que está na direção tangencial ao movimento. Como determinamos a equação desta velocidade, vamos descobrir agora o seu valor:

v c 2 = g h cos ⁡ θ

v c 2 = 9,81 ⋅ 0,9 ⋅ cos ⁡ 27,9

v c = 2,79   m / s

Agora, é só decompormos a velocidade v c na direção x e y e utilizarmos as equações da cinemática para descobrirmos o tempo x . Decompondo a velocidade, temos:

v c x = v c ⋅ cos ⁡ 27,9 ° = 2,465   m / s v c y = - v c ⋅ sen ⁡ 27,9 ° = - 1,3   m / s

O tempo necessário para que o bloco toque o chão será:

y = y 0 + v y t + a t 2 2

- h cos ⁡ θ = 0 + v c y t - g t 2 2

- 0,795 = - 1,3 t - 4,905 t 2

Resolvendo a equação acima descobrimos que o tempo de queda é t = 0,29   s . Assim, descobrimos que o deslocamento x foi:

x = h sen ⁡ θ + v c x ⋅ t

x = 0,9 ⋅ sen ⁡ 27,9 + 2,465 ⋅ 0,29

x = 1,13   m

E assim finalizamos a letra b) e a nossa questão!

Resposta

  1. θ = 27,9 °

x = 1,13   m

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