Enunciado

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Um pequeno colar C de 200 g desliza em uma haste semicircular que é colocada para girar sobre a vertical AB a uma taxa constante de 6 rad/s. Determine o valor mínimo requerido do coeficiente de atrito estático entre o colar e a haste se o colar não desliza quando (a) θ = 90 ° , (b)   θ = 75 ° , (c) θ = 45 ° . Indique em cada caso a direção do movimento iminente.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine o valor mínimo requerido do coeficiente de atrito estático entre o colar e a haste se o colar não desliza quando (a) θ = 90 ° , (b)   θ = 75 ° , (c) θ = 45 ° . Então vem comigo :D

v c = ( r   s e n θ ) ∅ A B = ( 0.6   m ) ( 6   r a d / s ) s e n θ = ( 3.6 m / s ) s e n θ

(a)Com θ = 90 ° ,

v c = 3.6 m / s

+ ↑ Σ F Y = 0 :     F - W c = 0

ou

F = m c g

Agora

F = μ s N

N = 1 μ s m c g

← + Σ F n = m c a n :         N = m c v C 2 r  

1 μ m c g = m c v C 2 r  

μ S = g r v C 2 = ( 9.81 m / s ² ) ( 0.6   m ) ( 3.6   m / s ) ²  

μ S m i n = 0.454  

A direção do movimento iminente é para baixo

Passo 2

(b) e (c)

Primeiro observe que para um valor arbitrário de θ , não se tem conhecimento se o movimento iminente será para cima ou para baixo. Para considerar as duas possibilidades para cada valor de θ , considere F b a i x o para movimento iminente para baixo, e F c i m a corresponde ao movimente iminente para cima, então com o “sinal do topo” correspondendo a F b a i x o nós temos

+ ↑ Σ F Y = 0 :     N c o s θ + -   F s e n θ - W c = 0

Agora

F = μ s N

Então

N c o s θ + -   μ s N s e n θ - M c g = 0

ou

N = μ s M c g c o s θ + - μ s s e n θ  

← + Σ F n = m c a n :         N s e n θ + - F c o s θ = m c v C 2 ρ               ρ = r   s e n θ

Substituindo para N e F

μ s M c g c o s θ + - μ s s e n θ s e n θ + - μ s M c g c o s θ + - μ s s e n θ c o s θ = m c v C 2 r   s e n θ

ou

t a n θ 1 + - μ s t a n θ + - μ s 1 + - μ s t a n θ = v C 2 g r   s e n θ

ou

μ s = + - t a n θ - v C 2 g r   s e n θ 1 + v C 2 g r   s e n θ t a n θ

Agora

v C 2 g r   s e n θ = [ ( 3.6 m / s ) s e n θ ] 2 ( 9.81 m / s ² ) ( 0.6   m ) s e n θ = 2.2018 s e n θ

Então

μ s = + - t a n θ - 2.2018 s e n θ 1 + 2.2018   s e n θ   t a n θ

Passo 3

(b)   θ = 75 °

μ s = + - t a n 75 ° - 2.2018 s e n 75 ° 1 + 2.2018   s e n 75 °   t a n 75 ° = + - 0.1796

Então

Para baixo:

μ s = + 0.1796

Para cima:

μ s < 0       n ã o   é   p o s s i v e l

Passo 4

(c)   θ = 45 °

μ s = + - t a n 45 ° - 2.2018 s e n 45 ° 1 + 2.2018   s e n 45 °   t a n 45 ° = + - ( - 0.218 )

Então

Para baixo:

μ s < 0       n ã o   é   p o s s i v e l

Para cima:

μ s = 0.218

A direção do movimente iminente é para cima

Nota: Quando t a n θ - 2.2018   s e n θ = 0

ou

θ = 62.988 °

μ s = 0 . Portanto, para esse valor de θ , fricção não necessariamente previne o colar de escorregar pela barra.

Resposta

a :   μ S m i n = 0.454  

( a )A direção do movimento iminente é para baixo

b :   μ s m i n = 0.1796

c :   μ s m i n = 0.218

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