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Um bloco B de 6 kg descansa em um suporte A, como mostrado na figura. Os coeficientes de atrito são μ s = 0,30 e μ k = 0,25 entre o bloco B e o suporte A e não há atrito na roldana ou entre o suporte e a superfície horizontal. (a) Determine a maior massa do bloco C se o bloco B não desliza sobre o suporte A. (b) Se a massa do bloco C é 10% maior que a resposta encontrada em a, determine a aceleração de A, B e C.

Passo 1

Cinemática: Deixando x A   e x B como coordenadas horizontais de A e B medidas de uma linha vertical fixa a esquerda de A e B. Deixando y C ser a distância que o bloco C está embaixa da polia. Note que y C aumenta quando C se covimenta para baixo. Observe a figura.

O comprimento do cabo L é fixo.

L = x B - x A + x p - x A + y C + c o n s t a n t e

Diferenciando e notando que x p = 0 ,

v B - 2 v A + v C = 0

- 2 a A + a B + a C = 0

(1)

Aqui, a A e a B são positivos para a direita, e a C é positiva para baixo.

Passo 2

Passo 3

Cinética. Deixando T ser a tensão no cabo e F A B ser a força de fricção entre o bloco A e B. Os diagramas de corpo livre são:

Bracket A:

Bloco B:

Bloco C:

Bracket A:

(2)

→ + Σ F x = m a x :   2 T - F A B = M A a A

Bloco B:

(3)

→ + Σ F x = m a x :   F A B - T = m B a B

+ ↑ Σ F y = m a y :   N A B - m A g = 0

ou

N A B = m A g

Bloco C:

(4)

+ ↓ Σ F y = m a y :   m C g - T = m a C

Adicionando Eqs. (2),(3), e (4), e transpondo,

(5)

m A a A + m B a B + m C a C = m C g

Subtraindo Eq. (4) da Eq. (3) e transpondo,

(6)

m B a B - m C a C = F A B - m C g

Passo 4

(a)Sem deslizamento entre A e B.

a B = a A

Da Eq. (1),

a A = a B = a C = a

Da Eq. (5),

a = m C g m A + m B + m C

Fara o deslizamento impedido,

F A B = μ s N A B = μ s m B g

Substituindo na EQ. (6),

( m B - m C ) ( m C g ) m A + m B + m C = μ s m B g - m C g

Resolvendo para m C ,

m C = μ s m B ( m A + m B ) m A + 2 m B + μ s m C = ( 0.30 ) ( 6 ) ( 10 + 6 ) 10 + 2 6 - ( 0.30 ) ( 6 )

m C = 1.426   k g  

Passo 5

(b) m C aumentado em 10%.

  m C = 1.568   k g

Desde que o deslizamento ocorre,

F A B = μ K N A B = μ K m B g

Eq. (6) se torna

m B a B - m C a C = ( μ K m B - m C ) g

ou

(7)

6 a B - 1.568 a C = [ ( 0.25 ) ( 6 ) - 1.568 ] ( 9.81 )

Com os dados numericos, Eq. (5) se torna

(8)

10 a A + 6 a B - 1.568 a C = ( 1.568 ] ( 9.81 )

Resolvendo Eqs. (1),(7) e (8) temos

a A = 1.053 m / s ² ,   … … a B = 0.348 m / s ² , … … a C = 1.759 m / s ²

Resposta

a :   m C = 1.426   k g

b 1 :   a A = 1.053 m / s ² →

b 2 :   a B = 0.348 m / s ² →

b 3 :   a C = 1.759 m / s ² ↓

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