Enunciado

Um pequeno foguete com massa inicial m 0 é lançado verticalmente para cima, próximo à superfície da Terra ( g constante), e a taxa de exaustão de massa m ' e a velocidade relativa de exaustão u são constantes. Determine a velocidade v como uma função do tempo de voo t se a resistência do ar é desprezada e se a massa da estrutura do foguete e dos equipamentos é desprezível em comparação com a massa do combustível transportado.

Passo 1

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:

∑ F = m a

E a grande questão aqui é lembrar que a massa não é constante, e podemos escrever a seguinte função:

m = m 0 - m ' t

E então:

∑ F = ( m 0 - m ' t ) ( a )

E qual é a soma das força agindo na direção vertical? Temos a força peso e a força exercida pela queima de combustível, que deixa o foguete com velocidade de exaustão u :

∑ F = m ' u - m g

∑ F = m ' u - m 0 - m ' t g

Agora vamos juntar as duas expressões:

( m 0 - m ' t ) ( a ) = m ' u - m 0 - m ' t g

Passo 2

Beleza, nosso objetivo é calcular a velocidade v como função do tempo. Para fazer isso podemos reescrever a aceleração a como d v / d t , então:

m 0 - m ' t d v d t = m ' u - m 0 - m ' t g

E ficamos com uma equação diferencial separável:

d v = m ' m 0 - m ' t u - g   d t

Agora podemos resolver essa equação diferencial para encontrar v ( t ) :

∫ 0 v d v = ∫ 0 t m ' m 0 - m ' t u - g   d t

v = ∫ 0 t m ' m 0 - m ' t u   d t - ∫ 0 t g   d t

v = - u ln ⁡ m 0 - m ' t t 0 - g t

v = u ln ⁡ m 0 m 0 - m ' t - g t

Resposta

A velocidade é dada por v t = u ln ⁡ m 0 m 0 - m ' t - g t .

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