Enunciado

Um perfil laminado de aço W250x67 é usado para formar uma coluna de

5m de comprimento efetivo. Sabendo-se que E=200GPa. determinar a

carga centrada admissível, se o limite de escoamento do tipo de aço usado é

(a) σ e   =250MPa; (b) σ e =345MPa

Passo 1

Fala galerinhaaa, bora projetar uma coluna metálica aqui?

Vamos deixar anotados os nossos dados pra resolver o nosso problema, pros itens a. e b. temos o perfil W 250 × 67 , com o comprimento efetivo de 5 metros e:

a σ e = 250 M P a

b σ e = 345 M P a  

E = 200 G P a

A nossa meta é encontrar a carga centrada e pra isso a gente precisa calcular a geometria, avaliar para qual intervalo de esbeltez se encontra a nossa coluna e aplicar para o intervalo as equações corretas. Vamos então nos atentar aos limites, nosso índice de esbeltez é dado por:

λ = L e r

Onde:

L e é o comprimento efetivo, e r é o raio de giração dado por:

r = I A  

Vamos calcular o parâmetro C c e avaliar alguns limites para λ , esse parâmetro é dado por:

C C = 2 π 2 E σ y

E aí temos 2 condições.

0 ≤ λ < C c

C c ≤ λ ≤ 200

Se estiver acima do mostrado, a coluna não pode ser projetada, vamos focar em encontrar onde o nosso parâmetro λ se encontra e aí para cada caso traremos a formulação necessária pra encontrar a tensão admissível e depois relacionar com P A D M da seguinte forma:

P A D M = σ A D M A

Passo 2

O momento de inércia vamos retirar das tabelas de perfis de abas largas no fim do livro para o perfil da questão W250x67. Aqui vamos já olhar na tabela o menor momento de inércia que nos dará o eixo fraco, já que não foi especificada condição de contorno.

I y = 22,2 × 10 6 m m 4

E o raio de giração é:

r y = 51,1 m m

E a área é:

A = 8580 m m 2

Vamos então ao nosso índice de esbeltez que é dado por:

λ y = L e r y = 5000 51,1 = 97,84

E o nosso parâmetro C c para o item a.

C C = 2 π 2 E σ y = 2 π 2 × 200 × 10 3 250 = 125,67

Ou seja:

λ y < C c

Passo 3

Daí para esse tipo de condição encontrada a tensão admissível é dada por:

σ A D M = σ e F S 1 - λ 2 2 C c 2

E:

F S = 5 3 + 3 8 × λ C c - 1 8 × λ C c 3

Substituindo os valores vamos calcular o fator de segurança para o item a.

F S = 5 3 + 3 8 × 97,84 125,67 - 1 8 × 97,84 125,67 3

Daí:

F S = 1,9

E voltando a tensão admissível podemos substituir os valores:

σ A D M = 250 1,9 × 1 - 1 2 × 97,84 125,67 2

Daí:

σ A D M = 91,7 M P a

E como:

P A D M = σ A D M A

Temos então que para o item a.

P A D M = 91,7 × 8580 = 786786 N

( a ) P A D M = 786,786 k N

Passo 4

Como só tivemos alteração na tensão o processo vai ser o mesmo para o item b. Temos que avaliar apenas que recalcular o C c , e avaliar se a condição se mantém como a tensão de escoamento agora é σ e = 345 M P a temos:

C C = 2 π 2 E σ e = 2 π 2 × 200 × 10 3 345 = 106,97

Daí:

λ y < C c

Daí para esse tipo de condição encontrada a tensão admissível é dada por:

σ A D M = σ e F S 1 - λ 2 2 C c 2

E:

F S = 5 3 + 3 8 × λ C c - 1 8 × λ C c 3

Substituindo os valores vamos calcular o fator de segurança para o item b.

F S = 5 3 + 3 8 × 97,84 106,97 - 1 8 × 97,84 106,97 3

Daí:

F S = 1,914

E voltando a tensão admissível podemos substituir os valores:

σ A D M = 345 1,914 × 1 - 1 2 × 97,84 106,97 2

Daí:

σ A D M = 104,84 M P a

E como:

P A D M = σ A D M A

Temos então que para o item b.

P A D M = 104,84 × 8580 = 899527,2 N

b P A D M = 899,527 k N

Resposta

( a ) P A D M = 786,786 k N

b P A D M = 899,527 k N

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