Enunciado

Para o perfil mostrado, determinar o maior momento M que pode ser aplicado, sem que as seguintes tensões admissíveis sejam excedidas: σ a d m = + 40   M P a e : σ a d m = - 100   M P a .

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

  • Primeiro dividir a seção em seções mais simples e numerar elas.
  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.
  • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo teremos que:

y - = 1651   .   94,05 + 952,5   .     50 , 2 + 635   .     6,35 1651 + 952,5 + 635 = 6 3,96

E assim temos que:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 22191 + 1651   .     29,95 2 + 446484 + 952,5   .     13,9 2 + 8535 +   635   .     57,75 2

    I = 4259958,34   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Se olharmos o momento que está agindo, vamos ver que o sentido dele é negativo, ou seja, comprime a parte de baixo e traciona a parte de cima:

Calculando primeiro o momento que traciona a parte de cima. Se traciona sabemos que a tensão é positiva, sendo assim teremos que:

σ a d m = + 40   M P a = 40 N m m 2

y - = + 36 , 44 m m

I = 4259958,34   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

40 N m m 2 = - M   .   36 , 44 m m 4259958,34   m m 4

M = - 4 , 6 7 6   k N m

E analisando agora a compressão teremos que:

σ a d m = - 100   M P a = - 100 N m m 2

y - = - 6 3 , 96   m m

I = 4259958,34   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - M   . ( - 6 3,96 ) m m 4259958,34   m m 4

M = - 66 60348   N m m = - 6,6   k N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = - 4,7   k N m

Resposta

M = - 4,7   k N m

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