Enunciado

A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800   kN . Determine a equação da reta y   =   f ( x ) ao longo da qual a carga pode ser posicionada sem provocar tensão de tração na pilastra. Despreze o peso da pilastra.

Passo 1

Uma pilastra é comprimida por um carregamento P = 800   kN nas coordenadas ( x , y ) .

Queremos formular uma expressão que nos diga quais são os pontos em P pode ser colocado sem causar tensão de tração!

Características da pilastra:

  • Área transversal: A = 4,5 ⋅ 3 = 13,5   m 2 .
  • Segundo momento de área, eixo x : I x = 3 ⋅ 4,5 3 / 12 = 22,78125   m 4 .
  • Segundo momento de área, eixo y : I y = 3 3 ⋅ 4,5 / 12 = 10,125   m 4 .

O que está acontecendo é que o carregamento vai causar uma compressão (tensão normal) e um momento que pode gerar tração devido a flexão. Precisamos ver em que situações a tração causada pela flexão é anulada pela compressão da normal.

Passo 2

O equilíbrio nessa questão é trivial. Em qualquer seção transversal, a normal N   vai equilibrar o carregamento P , agindo na direção + z (para cima):

N = + 800   kN

Agora vamos escrever a expressão dos momentos internos. Ambos em sentido positivo dos eixos.

M x = + 800   kN ⋅ y

M y = - 800   kN ⋅ x

Então quando a força P atua em x > 0 e y > 0 , o momento M x é positivo e o momento M y é negativo.

Vamos ver agora cmo ficam as tensões.

Passo 3

A tensão normal será sempre de compressão, com intensidade

σ N = N A = + 5 9 , 2593   kPa

As tensões causadas pelos momentos vão causar compressão ou tração, dependendo do ponto que olharmos.

σ M x = M x   r x I

σ y = - M y   r y I

  • O momento M x quando positivo causa tração abaixo de x .
  • O momento M y quando negativo causa tração à esquerda de y .

Então quando a força P atua em x > 0 e y > 0 , tração gerada pela flexão será máxima na borda com y < 0 e x < 0 . Ou seja, ponto A ! Vejamos como ficam as expressão dessas tensões nesse ponto

σ M x = + 800   kN ⋅ y ⋅ ( - 2,25   m ) 22,78125   m 4 = - 79,01235   k N/m 3 ⋅ y

σ M y = - - 800   kN ⋅ x ⋅ - 1,5   m 10,125   m 4 = - 118,5185   k N/mm 3 ⋅ x

Agora a gente soma tudo e força ser zero!

σ t r a ç ã o = 0

+ 59,2593   kPa - 79,01235   k N/m 3 ⋅ y - 118,5185   k N/mm 3 ⋅ x = 0

Ótimo, achamos uma expressão que só tem x e y . A questão pede y   =   f ( x ) . Vamos colocar nesse formato:

y = - 1,5 x + 0,75

Resposta

Equação da reta: y = - 1,5 x + 0,75 .

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