Enunciado

O pino P de 0,2 kg está restrito a se mover na fenda curva lisa que é definida pela lemniscata r = ( 0,6 cos ⁡ 2 θ ) m. O seu movimento é controlado pela rotação do braço bifurcado O A , o qual tem velocidade angular constante no sentido horário de θ ˙ = - 3 rad/s. Determine a força que o braço O A exerce sobre o pino P quando θ = 0 ° . O movimento está no plano vertical.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do pino P : m = 0,2   k g

Velocidade angular constante: θ ˙ = - 3   r a d / s

A questão pede para determinarmos a força que o braço O A exerce sobre o pino quando θ = 0 ° .

Vamos considerar esse problema como bidimensional. Desenhamos o diagrama de corpo livre do pino P na posição θ = 0 ° .

Onde W = m g é a força peso e g = 9,81   m / s 2 .

Podemos ver que a força F   exercidada pela barra no momento em que θ = 0 ° é igual F θ . Logo,

F = F θ

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais do pino em r ( r ˙ e r ¨ ):

r = ( 0,6 cos ⁡ 2 θ )   m

r ˙ = d r d t = - 1,2 θ ˙ sen ⁡ 2 θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 2,4 θ ˙ 2 cos ⁡ 2 θ - 1,2 θ ¨ sen ⁡ 2 θ     m / s 2

Sabemos que θ ˙ = - 3   r a d / s , portanto

θ ¨ = 0   r a d / s 2

Agora vamos substituir o valor de θ pelo instante pedido. Neste cálculo, devemos tomar cuidado pois θ deve estar em radiano.

θ = 0 ° = 0   r a d

No instante θ = 0 rad, teremos

r = 0,6   m

r ˙ = 0   m / s

r ¨ = - 21,6   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração do pino nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 21,6 - 0,6 - 3 2 = - 27   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0,6 0 + 2 0 - 3 = 0   m / s 2

Passo 4

Agora aplicaremos as Equações do Movimento.

Como a questão só nos pede valor de F , analisaremos apenas o eixo θ .

∑ F θ = m a θ

F - W = 0,2 0

F = W = 0,2 ( 9,81 )

F = 1,962   N

Resposta

F = 1,96   N

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