Enunciado

A placa possui uma massa de 3 kg e está soldada ao eixo vertical fixo, que gira na velocidade angular constante de 20 π r a d s . Calcule o momento M aplicado ao eixo pela placa devido ao desbalanceamento dinâmico.

Passo 1

Vamos admitir que o eixo que corta o centro do disco é o eixo z assim nós teremos as seguintes componentes para velocidade angular ( ω ⃑ ) , ω ⃑ = ω z k ^

ω z = 20   π r a d s

As equações 7/23 se reduzem para:

∑ M x = I y z ω z 2

Passo 2

Assim nós temos que calcular somente I y z = ∫ y z   d m .

Para facilitar as contas o leitor pode notar que quando giro a placa, a coordena z sempre se mantem fixa, também a placa é quadrada, portanto, z=y (pense numa reta com inclinação de 45°). Logo definindo uma densidade ( ρ )   para essa placa teremos.

ρ = m b = d m d l

Portanto:

I y z = ∫ y z   d m = ∫ y 2   ρ d y = ρ ∫ - b 2 b 2 y 2   d l = ρ ∫ - b 2 b 2 y 2   √ 2 d y =

I y z = ρ 2 3 b 3 2 2 + b 3 2 2 = m b 2 3 = 3 0.2 2 6 = 0.02   k g . m 2

Passo 3

Substituindo os valores na equação teremos 7/23

∑ M x = I y z ω z 2 = 00.02 20 π 2 = 79   N . m

Assim M só terá uma componente M ⃑ = - 79   i ^   N . m  

Resposta

M ⃑ = - 79   i ^   N . m

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