Enunciado

A placa tem uma espessura de 12 mm e é composta de aço com um peso específico de 80 kN/m³. Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a força na corda em B .

Passo 1

Vamos tomar nosso Elemento Diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Para isso, essa área é dada por:

d A = x   d y

Colocando nossa curva em função de x ficamos com x = y 1 / 2 , e nosso d A fica:

ⅆ A = y 1 / 2 ⅆ y

O centroide do nosso elemento diferencial fica com:

y - = y

x - = x / 2 = y 1 / 2 2

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = ∫ A ⅆ A

A = ∫ 0 1 y 1 / 2 ⅆ y = 2 3 y 3 / 2 0 1 = 2 3   m 2

Logo, o peso da placa pode ser obtido por:

P = γ A l

Onde γ é o peso específico e l a espessura dada no enunciado:

P = 80 k 2 3 0,012 ∴ P = 640   N

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide x - :

x - = ∫ A x - ⅆ A ∫ A ⅆ A

x - = ∫ 0 1 y 1 / 2 2 y 1 / 2 ⅆ y 2 3 = ∫ 0 1 y 2   d y 2 3 = 1 2 y 2 2 0 1 2 3 ∴ x - = 3 8   m

Como a placa é uniforme, o centro de gravidade coincide com o centroide.

Passo 4

Vamos agora encontrar a reação no pino e a tração no cabo B usando as equações de equilíbrio. Sabemos que:

∑ M A = 0

Adotando o sentido anti-horário positivo, temos aqui o cabo B agindo no sentido anti-horário a uma distância de 1m do pino A   e o peso da placa no sentido horário com a distância encontrada do centroide:

T B 1 - 640 3 8 = 0

T B = 240   N

Usamos o somatório de forças em x para encontrar a reação A x no pino, temos aqui agindo a tração do cabo:

∑ x = 0

A x - 240 = 0

A x =   240   N

E por último agindo em y temos o peso da placa:

∑ y = 0

A y - 640 = 0

A y =   640   N

Resposta

T B = 240   N

A x =   240   N

A y =   640   N

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