Enunciado

Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Para a gente descobrir as coordenadas do centroide, primeiro precisamos calcular a área embaixo da curva. Escolhendo um elemento de área dA:

d A = y d x = 1 + x 3 8 d x

Assim, a área vai ser:

A = ∫ d A = ∫ 1 2 1 + x 3 8 d x = 2 + 2 4 32 - 1 + 1 4 32 = 47 32

Passo 2

Vamos lembrar o seguinte:

x - = ∫ x c d A A  

y - = ∫ y c d A A  

Então a gente precisa calcular as integrais antes. Para a primeira integral, temos:

∫ x c d A = ∫ 1 2 x 1 + x 3 8 d x = 2 2 2 + 2 5 40 - 1 2 2 + 1 5 40 = 91 40

Observando a figura do passo 1, temos y c = y 2 . Substituindo na segunda integral:

∫ y c d A = ∫ y 2 y d y   = 1 2 ∫ y 2 d x

∫ y c d A = 1 2 ∫ 1 2 1 + x 3 8 2 d x =   1 2 ∫ 1 2 1 + x 3 4 + x 6 12 d x

∫ y c d A = 1 2 2 + 2 4 2 + x 7 448 - 1 + 1 4 16 + 1 7 448 = 995 896

Passo 3

Com os valores das integrais, agora vamos usar esses valores para calcular as coordenadas dos centroides:

x - = ∫ x c d A A = 91 40 47 32 = 1,549

y - = ∫ y c d A A   = 995 896 47 32 = 0,756

Resposta

x - = 1,549; y - = 0,756

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