Enunciado

Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine o estado de tensão resultante com referência a um elemento orientado como mostrado na parte inferior da figura.

Passo 1

Ih! Fala aí!

Bom! A questão dá dois elementos orientados de diferentes ângulos, e pede o estado de tensão resultante dos dois.

Como mostrado na própria figura, com aquele símbolo de ( + ) o que temos que fazer é girar os dois elementos para caírem na orientação do terceiro e depois somar as tensões que aparecerem em cada componente.

Bora!

Passo 2

Vamos lá calcular as tensões para o primeio elemento! Da figura do enunciado, obtemos que o estado plano nos fornece os seguintes dados:

σ x = 50   k P a , com valor positivo, uma vez que é uma tensão normal de tração.

σ y = 0 ,

τ x y = 0   , uma vez que não aparecem as famosas setas de tensão cisalhantes na nossa figura.

Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de 3 0 ° com a horizontal.

Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo θ = 3 0 ° , no sentido horário.

Para ver isso, você pode imaginar que pegou o quadradinho na mão. E vai girar ele para ficar com a orientação do teceiro quadradinho. Aí você olha em que sentido ele girou. Cê pode tanto girar ele no sentido horário de 30 ° ou no anti-horário de 60 ° .Beleza? Bora!

Passo 3

Vamos juntar os dados para montar o círculo de mohr para esse elemento:

σ m é d = 50 + 0 2 = 25 k P a

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 25 2 = 25 k P a

E vamos determinar as coordenadas X e Y que representam nosso estado de tensões:

X = σ x ,   - τ x y = 50 , 0   k p a

Y = σ y , τ x y = 0,0   k P a

E como a gente quer girar nosso elemento 30 ° no sentido horário, vamos gira-lo no círculo 60 ° no sentido horário (o dobro).

Percebemos que o nosso segmento está na horizontal. E já podemos marcar o segmento do elemento girado. Nosso círculo fica assim:

Utilizando-se o ângulo dado, podemos obter:

σ x ' a = 25 + 25 cos ⁡ 60 ° = 37,5 k P a

σ y ' a = 25 - 25 cos ⁡ 60 ° = 12,5 k P a

τ x ' y ' a = 25 s e n 60 ° = 21,65 k P a

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as tensões para o outro elemento. Analisando a figura do enunciado, tiramos os seguintes dados no estado plano desse elemento:

σ x = - 18   k P a , uma vez que temos compressão.

σ y = 0   , uma vez que não há nenhuma tensão normal na vertical.

τ x y = 45   k P a , com valor positivo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes.

Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de 50 ° com a horizontal.

Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo θ = 50 ° , no sentido anti-horário.

Passo 5

Vamos juntar os dados para montar o círculo de mohr para esse elemento:

σ m é d = - 18 + 0 2 = - 9 k P a

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = - 9 2 + - 45 2 = 45,89 k P a

E vamos determinar as coordenadas X e Y que representam nosso estado de tensões:

X = σ x ,   - τ x y = - 18 , - 45   k P a

Y = σ y , τ x y = 0 , 45   k P a

E como a gente quer girar nosso elemento 5 0 ° no sentido ati-horário, vamos gira-lo no círculo 10 0 ° no sentido anti-horário (o dobro).

Nosso círculo fica assim:

Vamos achar 2 θ p :

t g   2 θ p = 45 18 - 9 → θ = 78,69 °

E agora achamos α :

α = 180 ° - 100 ° - 78,69 ° = 1,31 °

Utilizando-se o ângulo dado, podemos obter:

σ x ' b = - 9 + 45,89 c o s ⁡ ( 1,31 ° ) = 36,88 k P a

σ y ' b = - 9 - 45,89 cos ⁡ 1,31 ° = - 54,88 k P a

τ x ' y ' b = 45,89 s e n 1,31 ° = 1,049 k P a

Passo 6

Agora, podemos calcular o estado resultante, que é a soma dos estados parciais sucessivos:

σ x ' = 37,5 + 36,88 = 74,4 K P a

σ y ' = 12,5 - 54,88 = - 42,4 k P a

τ x ' y ' = 21,65 + 1,049 = 22,70 k P a

Resposta

σ x ' = 74,4 K P a

σ y ' = - 42,4 k P a

τ x ' y ' = 22,70 k P a

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Determinar os planos principais e as tensões principais para o estado plano de tensões, resultante da superposição dos dois estados planos de tensões mostrado.
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Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento, quando: (a) σ z = 0M P a ; (b) σ z = + 60M P a ; (c) σ z = - 60M P a .
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