Enunciado

A porta de garagem suspensa é um painel retangular homogêneo de massa m e é guiada por seus roletes nas extremidades, que correm nos trilhos mostrados (tracejados). Se a porta é liberada a partir do repouso na posição mostrada, determine a força exercida na porta por cada um dos roletes em A e B . Despreze qulquer atrito.

Passo 1

Vamos fazer um desenho que represente a vista lateral da porta, mostrando as forças e as acelerações que agem sobre o sistema:

Onde deduzimos o ângulo de 45 ° pelo dato de os dois “catetos” do triângulo A O B serem iguais.

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton nas direções vertical e horizontal:

∑ F x = m a - x

2 B = m a - cos ⁡ 45 °

E na direção vertical:

∑ F x = m a - y

m g - 2 A = m a - cos ⁡ 45 °

Passo 2

Podemos escrever também uma equação de momentos em relação ao ponto O :

∑ M O = I - α + ∑ m a - d

E a única força que produz em relação a esse ponto é o peso, que está a uma distância perpendicular h 2 2 do ponto O :

m g h 2 2 = I - α + ∑ m a - d

E o momento de inércia da placa retangular em relação ao centro de massa é tabelado:

m g h 2 2 = 1 12 m h 2 α + m a - h 2

Onde d = h 2 , que é exatamente a distância entre O e o centro de massa da porta. Podemos simplificar um pouco essa equação:

g 2 2 = h α 12 + a - 2

Com isso ficamos com um ssitema de três equações:

g 2 2 = h α 12 + a - 2 m g - 2 A = m a - cos ⁡ 45 ° 2 B = m a - cos ⁡ 45 °

Aqui ainda temos quatro variáveis desconhecidas para apenas três equações, então vamos precisar determinar alguma dessas variáveis antes de continuar.

Passo 3

Vamos escrever algumas relações para as acelerações de A , B e do centro de massa:

a → A = a → B + a → A / B

a → C M = a → B + a → C M / B

Onde a aceleração a → C M / B deve apontar na mesma direção de a → A / B .

Além disso, a → A / B pode ser determinada pela aceleração angular do sistema e a distância entre os dois pontos:

a → A / B = h α

Então vamos representar isso vetorialmente:

E podemos usar o ângulo de 45 ° para determinar alguns valores:

cos ⁡ 45 ° = a A h α

a A = h α 2

Além disso:

sen ⁡ 45 ° = a - a A

Então:

a - = h α 2 1 2 = h α 2

Passo 4

Agora vamos substituir essa informação no nosso sistema:

g 2 2 = h α 12 + a - 2 m g - 2 A = m a - cos ⁡ 45 ° 2 B = m a - cos ⁡ 45 °

Começando pela primeira equação, para determinar a aceleração angular α :

g 2 2 = h α 12 + 1 2 h α 2

h α 1 12 + 1 4 = g 2 2

α = 3 g 2 2 h

E agora vamos substituir na segunda equação para encontrar a força A :

m g - 2 A = m a - cos ⁡ 45 °

A = m 2 g - h α 2 2

E podemos substituir a expresão que já determinamos para α :

A = m 2 g - h 2 2 3 g 2 2 h

A = m 2 g - 3 g 8 = 5 16 m g

E finalmente vamos substituir na terceira para encontrar a força B :

2 B = m a - cos ⁡ 45 °

B = m 2 h α 2 1 2 = m h 4 2   3 g 2 2 h = 3 m g 16

Resposta

As forças são A = 5 16 m g e B = 3 16 m g .

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