Enunciado

Na posição mostrada, o virabrequim de um pequeno compressor de dois cilindros está submetido a forças de 400 N e 800 N, exercidas pelas bielas, e um torque de 200 N.m. Substitua esse sistema de carregamento por um sistema força-binário no ponto A. Mostre que R não é perpendicular a M A . Substitua, então, esse sistema força-binário por um torçor. Determine o módulo M do momento do torçor, o módulo da força R do torçor, e as coordenadas do ponto no plano x z pelo qual passa a linha de ação do torçor.

Passo 1

Queremos inicialmente calcular a força resultante e o momento resultante no ponto A. A força de 400 N pode ser decomposta assim:

F 1 = 400 sen ⁡ ( 24 ° ) i - 400 cos ⁡ 24 ° j = 162,7 i - 365,4 j

Decompomos agora a força de 800 N:

F 2 = - 800 sen ⁡ 24 ° i - 800 cos ⁡ 24 ° j = - 325,4 i - 730,8 j

A força resultante será então:

R = F 1 + F 2 = 162,7 - 325,4 i + - 365,4 - 790,8 j = - 162,7 i - 1096,2 j   N

Passo 2

Agora devemos calcular o momento resultante causado pelas forças e o torque. O torque é igual a - 200 k   N ⋅ m . Calculamos agora o momento causado pela força de 400 N:

M A 1 = r A 1 × F 1 = 0,2 i - 0,2 k × 162,7 i - 365,4 j = i j k 0,2 0 - 0,2 162,7 - 365,4 0

M A 1 = - 32,54 j - 73,08 k - 73,08 i

Agora o momento causado pela força de 800 N:

M A 2 = r A 2 × F 2 = - 0,2 i - 0,6 k × - 325,4 i - 730,8 j = i j k - 0,2 0 - 0,6 - 325,4 - 730,8 0

M A 2 = 195,2 j + 146,2 k - 438,5 i

Então o momento total no ponto A será:

M A = - 200 k - 32,54 j - 73,08 k - 73,08 i + 195,2 j + 146,2 k - 438,5 i

= - 73,08 - 438,5 i + - 32,54 + 195,2 j + - 200 - 73,08 + 146,2 k

M A = - 511,6 i + 162,7 j - 126,9 k   N ⋅ m

Passo 3

Agora devemos verificar se R é perpendicular a M A . Quando dois vetores são perpendiculares sabemos que o produto interno entre eles dá zero. Efetuando então o produto:

R ⋅ M A = - 162,7 i - 1096,2 j ⋅ - 511,6 i + 159,7 j - 126,9 k

= 83237 - 175063 + 0 = - 91826 ≠ 0

Logo, a força resultante não é perpendicular ao momento resultante.

Passo 4

Queremos agora substituir a força por um torçor, passando por um ponto ( x ,   0 ,   z ) . Um torçor é composto por uma força R e um momento M paralelo à força. Já calculamos a força R, temos agora que encontrar M em relação ao ponto ( x ,   0 ,   z ) e então garantir que seja paralelo a R. Vamos achar o vetor unitário de R:

R = R n ⇒ n = R R

R = 162,7 2 + 1096,2 2 = 1108,2   N

n = 1 1108,2   - 162,7 i - 1096,2 j = - 0,1468 i - 0,9892 j

Passo 5

Precisamos agora achar o momento em relação ao ponto ( x ,   0 ,   z ) . Primeiro o momento da força de 400 N:

r 1 = 0,2 i - 0,2 k - x i + z k = 0,2 - x i - 0,2 + z k

M 1 = r 1 × F 1 = 0,2 - x i - 0,2 + z k × 162,7 i - 365,4 j

M 1 = i j k 0,2 - x 0 - 0,2 - z 162,7 - 365,4 0

M 1 = - 73,08 + 365,4 x k + - 32,54 - 162,7 z j + - 73,08 - 365,4 z i

Agora da força de 800 N:

r 2 = - 0,2 i - 0,6 k - x i + z k = - 0,2 - x i - 0,6 + z k

M 2 = r 2 × F 2 = - 0,2 - x i - 0,6 + z k × - 325,4 i - 730,8 j

M 2 = i j k - 0,2 - x 0 - 0,6 - 325,4 - 730,8 0 - z

M 2 = 195,2 + 325,4 z j + 146,2 + 730,8 x k + ( - 438,5 - 730,8 z ) i

O momento do torçor será então:

M = - 200 k + - 73,08 + 365,4 x k + - 32,54 - 162,7 z j + - 73,08 - 365,4 z i + 195,2 + 325,4 z j + 146,2 + 730,8 x k + ( - 438,5 - 730,8 z ) i

M = - 511,6 - 1096,2 z i + 162,7 + 162,7 z j + - 126,9 + 1096,2 x k   N ⋅ m

Passo 6

O momento do torçor deve ser paralelo ao da força resultante, então os vetores unitários que representam a direção dos dois vetores devem ser iguais. Temos:

n = M M = - 511,6 - 1096,2 z M i + 162,7 + 162,7 z M j + - 126,9 + 1096,2 x M k

Mas já calculamos que:

n = - 0,1468 i - 0,9892 j

Então:

- 511,6 - 1096,2 z M i + 162,7 + 162,7 z M j + - 126,9 + 1096,2 x M k = - 0,1468 i - 0,9892 j

Isso nos dá então 3 quações:

1   - 511,6 - 1096,2 z M = - 0,1468 ⇒ - 511,6 - 1096,2 z = - 0,1468 M

⇒ M = 3485 + 7467,6 z

2 162,7 + 162,7 z M = - 0,9892 ⇒ 162,7 + 162,7 z = - 0,9892 M

⇒ 162,7 + 162,7 z = - 3447,4 - 7386,9 z ⇒ 7549,6 z = - 3610,1 ⇒ z = - 0,4782   m

3   - 126,9 + 1096,2 x M = 0 ⇒ 1096,2 x = 126,9 ⇒ x = 0,1158   m

Através de z descobrimos o módulo de M :

M = 3485 + 7467,6 z = 3485 + 7467,6 - 0,4782 = 86,00     N ⋅ m

Resposta

R = - 162,7 i - 1096,2 j   N

M A = - 511,6 i + 162,7 j - 126,9 k   N ⋅ m

M = 86,00   N ⋅ m

x = 0,1158   m ; y = - 0,4782   m

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