Enunciado

A posição original da barra rígida é horizontal e ela é sustentada por dois cabos com área de seção transversal de 36 mm² cada e E = 200 GPa. Determine a leve rotação da barra quando uma a carga uniforme é aplicada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos??

O que está acontecendo ali? Antes do carregamento, essa viga está como na figura. Aquele triângulo formado pelos dois cabos é simétrico.

Depois do carregamento, há alongamento nesses cabos. Como o carregamento não é simétrico, um cabo vai alongar mais que o outro, causando uma rotação nessa barra. O ângulo dessa barra carregada em relação a horizontal é o que queremos descobrir.

Nosso primeiro passo será trazer TODOS os nossos dados do desenho pra cá.

a = 1   m

h = 2   m

A = 36   m m 2

E = 200   G P a

w = 90   k N / m

Agora, vamos analisar a distância para de B e D para o ponto C e suas relações.

L C B = L C D = 1 2 + 2 2 = 5

Vamos observar também que o ângulo A em relação a horizontal e o ponto C é de 45 ° (já que os catetos valem 2).

Com isso em mente, vamos achar as forças nos cabos e seus alongamentos. Bora!

Passo 2

Nosso DCL fica:

Precisamos de duas equações que relacionam esses T ’s para achar essas tensões.

Primeiro, usamos somatório de momento em A :

∑ M A = 0

T B C   s e n   θ + 3 T D C   s e n   θ - 3 w ( 1,5 ) = 0

T B C 2 5 + 3 T D C   2 5 - 3 90 × 10 3 ( 1,5 ) = 0

Passo 3

A outra vai ser achada pela compatibilidade de deslocamentos. Nossa viga é rígida. Então ela não pode curvar, só rotacionar. Como o alongamento dos cabos ocorre algo assim:

Por semelhança de triângulos, podemos escrever:

B B ' 1 = D D ' 3 → 3 B B ' = D D '

Mas quem são esses valores? Eles são as projeções dos nossos deslocamentos na vertical. Se a gente supor que ângulo entre cabos ficou de 2 ϕ , então podemos escrever:

B B ' = δ C B cos ⁡ ϕ  

D D ' = δ C D cos ⁡ ϕ

Lembrando da fórmulinha para deslocamento:

δ = P L E A

B B ' = T B C L E A cos ⁡ ϕ  

D D ' = T D C L E A cos ⁡ ϕ

Daí:

3 B B ' = D D ' → 3 T B C L E A cos ⁡ ϕ = T D C L E A cos ⁡ ϕ

T D C = 3   T B C

Prontinho, mas uma equação.

Passo 4

Vamos olhar para o nosso desenho de novo:

O ângulo de rotação que a questão pede é α . Para achar ele a gente pode ou achar δ B C ou   δ D C , não precisamos dos dois! Então vamos achar só B C .

δ B C = T B C L E A

Para achar essa tensão, usamos as duas equações que montamos:

T B C 2 5 + 3 T D C   2 5 - 3 90 × 10 3 ( 1,5 ) = 0

T D C = 3   T B C

T B C 2 5 + 9   T B C   2 5 - 3 90 × 10 3 1,5 = 0 → T B C = 45   280   N

Passo 5

Voltando para as continhas:

δ B C = T B C L E A

δ B C = 45280 5 200 10 9 36 10 - 6 = 14,065   m m

Ficamos com esse triângulo:

Aí achamos α pela lei dos cossenos:

5 + δ B C 2 = 2 2 2 + 1 2 - 2 1 2 2 cos ⁡ α + 45 °

5 + 14,065 10 - 3 2 - 2 2 2 - 1 = - 2 1 2 2 cos ⁡ α + 45 °

Isolando α :

α = 0,89 °

Obs: Ficou diferente do gabarito do livro, mas tá certinho, tá?

Resposta

α = 0,89 °

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