Enunciado

A barra rígida é sustentada pela haste C E acoplada por pino, com área de seção transversal de 14   m m 2 e feita de alumínio 6061 - T 6 . Determine a deflexão vertical da barra em D quando a carga distribuída for aplicada.

Passo 1

Oláaa, querido! Tá bem?

Queremos encontrar o quanto a barra vai se desviar da sua posição original ( δ ) exatamente no ponto D observando na vertical. Ela vai se deslocar porque a haste B C   vai ser alongada por causa do carregametento.

Aí a gente tem que achar esse alongamento em B C , usando a fórmulinha para alongamento:

δ = F o r ç a   n o r m a l   i n t e r n a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   e m   a n á l i s e ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   e m   a n á l i s e ) = P L E A

Onde o módulo de elasticidade para o material dado é E = 68,9   G P a .

E descobrir pela geometria da figura, o quando D   desloca por causa desse alongamento de B C .

Bora ver como fazer isso!

Passo 2

Vamos aplicar a equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto A da nossa figura para achar o valor de F B C , a força em B C , que vai servir para a gente achar o alongamento na haste.

Primeiramente devemos observar que a força na haste B C pode ser decomposta em duas componentes onde, para nosso caso, só nos interessa a componente vertical que é a única que gera momento:

Se chamarmos o ângulo destacado na imagem de θ , nossa componente vertical da força pode ser descrita por F b c y = F b c ⋅ s e n ( θ ) . Além disso, devemos lembrar que o carregamento pode ser concentrado no centro da barra com módulo w = 300 k N m ⋅ 4 m = 1200 k N e

Passo 3

Das reações de suporte vamos ter adotando o sentido anti-horário como positivo

∑ M a = 0 → F b c ⋅ s e n θ ⋅ 2 m - 1200 k N ⋅ 2 m = 0

Podemos achar esse seno pela geometria da figura. Percebe que tem um triangulo retângulo nela:

Vemos que L B C tem 2,5   m porque esse é um triângulo do tipo 3/4/5, mas se não ficar claro de cara, cê sempre pode fazer pitagoras e achar o lado que falta. Aí desse triângulo a gente tem que

s e n   θ = 1,5 2,5 = 3 5

Substituindo na nossa expressão do equilíbrio

F b c ⋅ s e n θ ⋅ 2 m - 1200 k N ⋅ 2 m = 0

F b c ⋅ 3 5 ⋅ 2 m - 1200 k N ⋅ 2 m = 0

Isolando a força:

F b c = 2 k N

Passo 4

Aí com essa força a gente consegue achar o alongamento em B C :

δ = P L E A

δ b - c = F b c ⋅ L b c E ⋅ A

Substituindo os valores:

δ b - c = 2   k N ⋅ 2,5   m 68,9   G P a ⋅ 14   m m 2

δ b - c ≈ 5,183   m m

Passo 5

Depois da deformação de B C , o triângulo que a gente viu antes vai ficar assim:

Dado que o ponto B sofre uma deflexão podemos definir um novo ponto B ' no qual o nosso ponto B se localiza agora. Dessa forma, se traçarmos um triângulo com os pontos A B ' C podemos estabeler o seguinte

L b ' c = L b c + δ b - c ≈ 2,505183   m

Como a barra A D é rígida, a distância entre A B não muda, logo, A B ' também vale 2   m .

Através da lei dos cossenos também podemos fazer

L b ' c 2 = 1,5 2 + 2 2 - 2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ θ a '

θ a ' = arccos ⁡ 1,5 2 + 2 2 - L b ' c 2 2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 ≈ 90,25 °

Passo 6

Pela figura, a gente pode achar o ângulo que a barra rígida inclinou em relação a posição horizontal:

ϕ = θ a ' - 90 ° = 90,25 ° - 90 ° = 0,25 ° = 0,00432   r a d

Então, finalmente, podemos achar a aproximação de arco para achar a deslocamento vertical de D , já que esse ângulo de rotação do segmento A D é bem pequeno:

δ D vai ser o comprimento do arco de raio L = 4   m , assim:

δ d = ϕ ⋅ L ≈ 17,30   m m

Resposta

δ d = 17,30   m m

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