Enunciado

A posição de uma partícula é r = 3 t 2 - 2 t i - 4 t 1 / 2 + t j + 3 t 2 - 2 k m , onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando t = 2 s

Passo 1

Encontramos a velocidade derivando a equação da trajetória dada no enunciado:

v = d r d x = d d x 3 t 3 - 2 t i - 4 t 1 / 2 + t j + 3 t 2 - 2 k

v = 9 t 2 - 2 i - 2 t - 1 / 2 + 1 j + 6 t k m s

Passo 2

Calculamos a velocidade para o instante em que t = 2 s

v = 9 2 2 - 2 i - 2 2 - 1 2 + 1 j + 6 2 k m / s

v = 34 i + 2.414 j + 12 k   m / s

Assim, podemos calcular a magnitude da velocidade da pparticula:

v = v x 2 + v y 2 + v z 2 = 34 2 + - 2.414 2 + 12 2 = 36.1   m / s

Passo 3

Podemos derivar a equação da velocidade para encontrar a aceleração:

a = d v d x = d d x 9 t 2 - 2 i - 2 t - 1 / 2 + 1 j + 6 t k m / s

a = 18 t i + t - 3 2 j + 6 k m / s 2

Passo 4

Calculamos a acelaração no instante t = 2 s usando a equação encontrada ao final do passo 3:

a = 18 ( 2 i + 2 - 3 2 j + 6 k   m / s 2 = 36 i + 0.3536 j + 6 k m / s 2

Assim, podemos calcular a magnitude da aceleração da partícula:

a = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 36 2 + 0.3536 2 + 6 2 = 36.5   m / s 2

Resposta

A magnitude da velocidade da partícula em t = 2 s é v = 36.1   m / s  

A magnitude da aceleração da partícula em t = 2 s é a = 36.5   m / s 2  

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