Enunciado

A posição de uma partícula é descrita por r = t 3 + 4 t - 4 m e θ = t 3 / 2 rad, onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da partícula no instante t = 2 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

r = t 3 + 4 t - 4   m;

θ = t 3 / 2 r a d .

Devemos determinar a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula no instante em que t = 2 s.

Através das informações dadas, vemos que o problema é dado em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiramente, vamos determinar as derivadas temporais e seus valores quando t = 2 s. Assim obteremos os dados para conseguir determinar a velocidade e a aceleração da partícula.

As derivadas temporais de   r = t 3 + 4 t - 4 são

r ˙ = d r d t = 3 t 2 + 4

r ¨ = d 2 r d t 2 = 6 t

As derivadas temporais de θ = t 3 / 2 são

θ ˙ = d θ d t = 3 2 t 1 / 2

θ ¨ = d 2 θ d t 2 = 3 4 t - 1 / 2

Em t = 2   s , obtemos

r = 2 3 + 8 - 4 = 12   m

r ˙ = 3 ( 2 ) 2 + 4 = 16   m / s

r ¨ = 6 2 = 12   m / s 2

θ = ( 2 ) 3 / 2   = 2,828   r a d

θ ˙ = 3 2 ( 2 ) 1 / 2 = 2,121   r a d / s

θ ¨ = 3 4 ( 2 ) - 1 / 2 = 0,530   r a d / s 2

Passo 3

Após essa aquisição de dados, vamos encontrar a intensidade da velocidade.

Sabemos que, por definição, a velocidade em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme a fórmula abaixo:

v = v r 2 + v θ 2

Onde

v r = r ˙

r θ = r θ ˙

Substituindo os valores encontrados nas fórmulas acima, obtemos

v r = r ˙ = 16   m / s

v θ = r θ ˙ = 12 2,121 = 25,45   m / s

Logo, a intensidade da velocidade será de

v = 16   2 + 25,45 2

v = 30,1   m / s 2

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a aceleração a .

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme a fórmula abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Substituindo os valores encontrados nas fórmulas acima, obtemos

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 12 - 12 2,121 2 = - 41,98   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 12 0,530 + 2 ( 16 ) ( 2,121 ) = 74,23   m / s 2

Logo, a intensidade da aceleração será de

a = - 41,98   2 + 74,23 2

a = 85,3   m / s 2

Resposta

v = 30,1   m / s 2

a = 85,3   m / s 2

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