Enunciado

No Prob. 3.98, determinar o ângulo de torção permanente no eixo.

Passo 1

No item a) para descobrirmos a tensão máxima que age na nossa estrutura, precisamos antes saber a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, e para isso a nossa fórmula é dada por:

T e = J c τ e

Sabemos pelo enunciado que:

c = D 2 = 75 2 = 37,5 m m

J = π c 4 2 = π 37,5 4 2 = 3106311   m m 4

τ e = 145   M P a = 145 N m m 2

Ф = 5,5 ° = 5,5   .   π 180 = 0,09599   R a d

L = 1,2   m = 1200   m m

G = 77   G P a = 77000   M P a

Substituindo teremos que:

T e = 3106311 37,5 145 = 12011069   N m m = 12011   N m = 12,01   k N m

Como temos o ângulo em que a nossa barra é girada, podemos usar a seguinte equação para nos ajudar:

γ m a x = c Ф L

Como todos esses dados nós já temos, podemos substituir na nossa equação, sendo assim teremos que:

γ m a x = 37,5   .     0,09599 1200 = 0,00299968

Outra coisa que podemos definir é a máxima deformação elástica que a nossa barra pode ter, e para isso podemos usar a seguinte equação:

γ e = τ e G = 145 77000 = 0,0018831

E agora podemos fazer a seguinte relação

γ e = ρ e c γ m a x

ρ e c = γ e γ m a x = 0,0018831 0,00299968 = 0,62777

Como uma das coisas pedidas é a posição que ocorre a máxima tensão residual, podemos substituir o nosso raio e assim teremos que:

ρ e c = 0,62777

ρ e 37,5 = 0,62777

ρ e = 23,54   m m

Então a posição que a tensão máxima ocorre é no raio elástico dada por   ρ e = 23,54   m m

Com esses dados podemos calcular o nosso torque que age na barra, sendo assim teremos que:

T = 4 3 T e 1 - 1 4   ρ e c 3    

T = 4 3 . 12,01 1 - 1 4 23,54 37,5 3

T = 15,02   k N m

Passo 2

Podemos determinar o nosso ângulo de deformação elástica dada pela seguinte equação.

Ф e = T e L J G = 12011   N m   .   1,2   m 3106311   .     10 - 12 m 4   .   77   .   10 9   N m 2   = 0,0603   r a d

E assim a nossa deformação angular total é dada pela seguinte equação.

Ф = Ф e c   ρ e = 0,0603   .   37,5 23,54 = 0,09599   r a d

Tendo o torque atuante, podemos determinar a máxima deformação angular de acordo com a nossa estrutura.

Ф ' = T L J G = 15 020   N m   .   1,2   m 3106311   .     10 - 12 m 4   .   77   .   10 9   N m 2   = 0,07536   r a d

E como queremos a deformação angular permanente, podemos fazer a seguinte conta:

Ф p = Ф - Ф ' = 0,09599 - 0,07536   = 0,02063   r a d

Passando para graus teremos que:

Ф p = 0,02063   .   180 π = 1,18 °

Resposta

Ф p = 1,18 °

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