Enunciado

Se um projétil é disparado da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial v 0 , em uma direção que faz um ângulo o com a horizontal, calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo β < α com a horizontal.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Segue a imagem pra entendermos melhor o que está sendo feito.

Nessa questão temos um projétil que está sendo lançado na direção que faz um ângulo α com a horizontal e queremos o tempo para ele passar a linha que faz um ângulo β < α com a horizontal. Novamente, temos que ver os movimentos nos eixos que temos. Vamos aos cálculos.

Passo 2

Começamos analisando o movimento no eixo x e y . Como é comum nesse tipo de exercício, temos um movimento constante no eixo x e um acelerado com a aceleração sendo a gravidade pra baixo. Assim, separamos os movimentos, temos

No eixo x

F x = m x ¨

Como a força é zero nessa direção, temos x ¨ = 0 . Assim, a equação da velocidade vai ficar

x ˙ = v 0 c o s α

Integrando essa equação no tempo, temos

x = v 0 c o s α   t

Já no eixo y temos

F y = m y ¨

Como a força nessa direção é a força gravitacional, vamos ter que F y = - m g . Então nossa equação de movimento fica

- m g = m y ¨

y ¨ = - g

Integrando essa equação em relação ao tempo, temos

y ˙ = v 0 s e n α - g t

Integrando novamente em relação ao tempo

y = v o s e n α   t - g t 2 2

Passo 3

Agora vendo as coordenadas do ponto P atingido são

No eixo x

P x = l c o s β

No eixo y

P y = l s e n β

Igualando essas coordenadas desses pontos as equações de movimento que temos

l c o s β = v 0 c o s α   t

l s e n β = v 0 s e n α   t - g t 2 2

Substituindo o tempo t 0 gasto para atingir o ponto P e isolando l na primeira equação e substituindo na segunda, vamos obter

1 2 g t 0 t 0 - 2 v 0 s e n α g + 2 v 0 g c o s α   t a n β = 0

Dessa equação obtemos que t 0 = 0 , que é a solução que não nos interessa, ou

t 0 - 2 v 0 s e n α g + 2 v 0 g c o s α   t a n β = 0

t 0 = 2 v 0 s e n α g - 2 v 0 g c o s α   t a n β

t 0 = 2 v 0 g ( s e n α - c o s α   t a n β )

Resposta

t 0 = 2 v 0 g ( s e n α - c o s α   t a n β )

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

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