Enunciado

Um projétil é disparado a partir do ponto A com uma velocidade inicial v0 que forma um ângulo α com a horizontal. Expresse o raio de curvatura da trajetória do projétil no ponto C em termos de x, v0, α e g.

E ai gurizada tudo bem? O enunciado pede que a gente determine o raio de curvatura da trajetória do projétil no ponto C em termos de x, v0, α e g.

Passo 1

Nós temos

a C n = v C 2 ρ C

ρ C = v C 2 g c o s ⁡ θ

Passo 2

Notando que o movimento horizontal é uniforme, nós temos

v A x = v C x                                   x = 0 + v 0 x t = v 0 c o s ⁡ α t

Onde v A x = v 0 cos ⁡ α                      

v C x = v C c o s ⁡ θ

Então

(1)

v 0 c o s ⁡ α = v C c o s ⁡ θ         e         v C x = v 0 c o s ⁡ α

ou

c o s ⁡ θ = v 0 v C c o s ⁡ α

de modo

ρ C = v C 3 g v 0 c o s ⁡ α

Passo 3

Para o movimento vertical uniformemente acelerado nós temos

v C y = v 0 y - g t = v 0 sin ⁡ α - g t

De cima

x = v 0 c o s ⁡ α t    ou    t = x v 0 c o s ⁡ α

Então

(2)

v C y = v 0 s i n ⁡ α - g x v 0 c o s ⁡ α

Agora

v C 2 = v C x 2 + v C y 2

Substituindo para v C x [Eq. (1)] e v C y [Eq. (2)]

v C 2 = v 0 c o s ⁡ α 2 + v 0 s i n ⁡ α - g x v 0 c o s ⁡ α 2

= v 0 2 1 - 2 g x t a n ⁡ α v 0 2 + g 2 x 2 v 0 4 c o s 2 ⁡ α

ou

v C 3 = v 0 3 1 - 2 g x t a n ⁡ α v 0 2 + g 2 x 2 v 0 4 c o s 2 ⁡ α 3 / 2

Finalmente, substituindo na expressão para ρ C , obtemos

ρ = v 0 2 g c o s ⁡ α 1 - 2 g x t a n ⁡ α v 0 2 + g 2 x 2 v 0 4 c o s 2 ⁡ α 3 / 2

Resposta

ρ = v 0 2 g c o s ⁡ α 1 - 2 g x t a n ⁡ α v 0 2 + g 2 x 2 v 0 4 c o s 2 ⁡ α 3 / 2

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