Enunciado

Quatro pranchas de madeira, cada uma de 38x190mm de seção transversal, são firmemente pregadas juntas,

como mostrado, para formar uma coluna. Sabendo-se que para o tipo de madeira usado

E=12GPa e que a tensão admissível a compressão, na direção paralela as fibras, é de

10MPa, determinar a carga centrada admissível quando o comprimento efetivo da coluna é de:(a)2,4m;(b)4,35m

Passo 1

Fala meus projetistas de colunas, tudo certo?

Temos mais um projetinho de coluna de madeira centrada, e aqui a coluna é retangular o que facilita a nossa vida em algumas equações, vamos calcular alguns parâmetros e avaliar a esbeltez da coluna e conforme for vamos usar a equação da tensão pro caso encontrado.

A gente calcula primeiro o parâmetro K , que é dado por:

K = 0,671 × E σ a d m '

Onde:

σ A D M '   é a tensão admissível dada no enunciado daí avaliaremos alguns limites, com o parâmetro:

L d

Onde L é o comprimento efetivo e d é o menor dos lados da seção transversal. Daí avaliamos os limites para esse parâmetro, então:

Caso:

L d < K

Temos colunas curtas e traremos os cálculos para a tensão desse tipo. E caso contrário, se:

K < L / d < 50

Temos as colunas longas e outra formulação para elas. Se por acaso L / d não estiver contido nesses limites a coluna não pode ser projetada. Por fim traremos o seguinte para o peso admissível.

P A D M = σ A D M A

Passo 2

Vamos lá ao cálculo do nosso parâmetro K:

K = 0,671 × E σ a d m ' = 0,671 × 12 × 10 3 10

Temos:

K = 23,24

E aqui para o cálculo de   L / d   temos 4 pranchas juntas como podemos ver na figura:

O lado composto pelas pranchas tem valor:

l = 3 × 38 = 114 m m

Temos o nosso menor lado então:

l = d

Vamos então ao L / d , para o item a. com o comprimento L e = 2,4 m .

L d = 2400 114 = 21,05

Beleza, é projetável e está nos limites para colunas curtas.

K > L / d

E para esses limites podemos trazer a equação, para colunas retangulares onde: d < b .

σ A D M = σ a d m ' 1 - 1 3 × L d K 4

Substituindo os valores temos:

σ A D M = 10 × 1 - 1 3 × 21,05 23,24 4 = 7,75 M P a

E como o peso admissível é dado por:

P A D M = σ A D M A

A gente pode substituir os valores dizendo que:

A = b d

Daí:

P A D M = 7,75 × 190 × 11 4 = 1 67865 N

E em kilonewtons:

( a ) P A D M = 1 67,865 k N

Resposta

( a ) P A D M = 167,865 k N

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