Enunciado

Quatro pranchas de madeira, cada uma de 38x190mm de seção transversal,

são firmemente pregadas juntas, como mostrado, para formar uma coluna. Sabendo-se

que para o tipo de madeira usada E=12GPa e que a tensão admissível a compressão,

na direção paralela as fibras, é de 10MPa, determinar a carga centrada admissível,

quando o comprimento efetivo na coluna é de:(a) 3,2m;(b)1,6m.

Passo 1

Fala meus projetistas de colunas, tudo certo?

Começamos agora com colunas de madeira, e o que muda em relação ao que a gente já viu? Só algumas equações, existe um jeito geral de se resolver colunas de madeira e o jeito específico para cada caso, aqui temos uma seção qualquer e as equações serão mostradas abaixo.

A gente calcula primeiro o parâmetro K ' , que é dado por:

K ' = 2,324 × E σ A D M   '

Onde:

σ A D M ' é a tensão admissível dada no enunciado.

E vamos comparar o parâmetro abaixo com K ' , avaliando alguns limites para o mesmo que nos darão cálculos diferentes para as tensões que levam ao peso admissível:

L e r

Onde:

L e   é o comprimento efetivo da coluna e r é o raio de giração.

Lembrando que:

r = I A

Temos 3 limites para avaliar, o primeiro caso é:

0 < L e r ≤ 38

Se estiver nesses limites a coluna é curta e traremos as fórmulas da tensão para esse caso. Para colunas intermediárias temos o nosso segundo caso:

38 < L e r < K '

E para colunas longas temos o último caso:

K ' < L e r < 173

Se por acaso L e r   não estiver contido nesses limites a coluna não pode ser projetada. Por fim traremos o seguinte para o peso admissível.

P A D M = σ A D M A

Passo 2

Vamos lá ao cálculo do nosso parâmetro K:

K ' = 2,324 × E σ A D M   ' = 2,324 × 12 × 10 3 10 = 80,5

E agora para o raio de giração vamos avaliar a figura:

E aqui temos que escolher o eixo fraco repare que a seção é quadrada, então não possui eixo fraco e aí o momento de inércia é:

I = d 4 12 - d - 2 t 4 12

Onde d   é cada lado de ponta a ponta da peça, medindo 178mm.

Substituindo os valores temos:

I = 178 4 - 178 - 2 × 38 3 12

Daí:

I = 74,63 × 10 6 m m 4

E a área da seção vazada é:

A = d 2 - d - 2 t 2 = 178 × 178 - 2 × 38 = 21280 m m 2

E enfim substituindo os valores encontrados na equação do raio de giração:

r = I A = 74,63 × 10 6 17850 = 64,66 m m

E enfim nosso parâmetro para o item a. que possui comprimento efetivo L e = 3,2 m = 3200 m m .

L e r = 3200 64,66 = 49,49

Agora avaliamos que o nosso parâmetro está no intervalo:

38 < L e r < K '

Pelos limites apresentados é classificada como coluna intermediária.

Passo 3

Para esse tipo de coluna a formulação das tensões vai ficar:

σ A D M = σ a d m ' 1 - 1 3 L e r K ' 4

E substituindo nossos valores temos:

σ A D M = 10 × 1 - 1 3 49,49 80,5 4 = 9,53 M P a

E como falamos lá no passo 1, a relação do peso admissível e a tensão admissível são dados por:

P A D M = σ A D M A

E substituindo:

P A D M = 9,53 × 21280 = 202798 N

E em k N :

( a ) P A D M = 202,798 k N

Resposta

( a ) P A D M = 202,798 k N

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