Enunciado

Quatro pranchas de madeira, cada uma de 38x190mm de seção transversal, são firmemente pregadas juntas,

como mostrado, para formar uma coluna. Sabendo-se que para o tipo de madeira usado

E=12GPa e que a tensão admissível a compressão, na direção paralela as fibras, é de

10MPa, determinar a carga centrada admissível quando o comprimento efetivo da coluna é de:(a)7m;(b)3m

Passo 1

Fala meus projetistas de colunas, tudo certo?

Para o nosso item b. vamos começar bem parecido com o item a. porém como rola essa diferença nos comprimentos os cálculos para as tensões acabam sendo diferentes! Vamos calcular alguns parâmetros e avaliar os limites, então traremos a equação pro caso que encontrarmos tá?

A gente calcula primeiro o parâmetro K ' , que é dado por:

K ' = 2,324 × E σ A D M   '

Onde:

σ A D M ' é a tensão admissível dada no enunciado.

E vamos comparar o parâmetro abaixo com K ' , avaliando alguns limites para o mesmo que nos darão cálculos diferentes para as tensões que levam ao peso admissível:

L e r

Onde:

L e   é o comprimento efetivo da coluna e r é o raio de giração.

Lembrando que:

r = I A

Temos 3 limites para avaliar, o primeiro caso é:

0 < L e r ≤ 38

Se estiver nesses limites a coluna é curta e traremos as fórmulas da tensão para esse caso. Para colunas intermediárias temos o nosso segundo caso:

38 < L e r < K '

E para colunas longas temos o último caso:

K ' < L e r < 173

Se por acaso L e r   não estiver contido nesses limites a coluna não pode ser projetada. Por fim traremos o seguinte para o peso admissível.

P A D M = σ A D M A

Passo 2

Vamos lá ao cálculo do nosso parâmetro K:

K ' = 2,324 × E σ A D M   ' = 2,324 × 12 × 10 3 10 = 80,5

E agora para o raio de giração vamos avaliar a figura:

E aqui temos que escolher o eixo fraco repare que a base é mais larga que a altura da peça, sendo assim o menor momento de inércia será:

I = b h 3 12 - b - 2 t × h - 2 t 3 12

Substituindo os valores temos:

I = 190 + 2 × 38 × 190 3 - 190 × 190 - 2 × 38 3 12

Daí:

I = 128,58 × 10 6 m m 4

E a área da seção vazada é:

A = b h - b - 2 t h - 2 t

Substituindo:

A = 190 + 2 × 38 × 190 - 190 × 190 - 2 × 38 = 28880 m m 2

E enfim substituindo os valores encontrados na equação do raio de giração:

r = I A = 128,58 × 10 6 28880 = 66,72 m m

E enfim nosso parâmetro para o item b. onde temos L e = 3000 m m .

L e r = 3000 66,72 = 44,96

Temos então uma coluna classificada como longa pelos limites:

38 < L e r < K '

Pelos limites apresentados é classificada como coluna intermediária. Se você fez o item a. presta bastante atenção nos limites, e veja que o cálculo vai ser bem diferente e é isso que pega a gente nas provas se a gente bobear.

Passo 3

Para esse tipo de coluna a formulação das tensões vai ficar:

σ A D M = σ a d m ' 1 - 1 3 L e r K ' 4

E substituindo nossos valores temos:

σ A D M = 10 × 1 - 1 3 44,96 80,5 4 = 9,675 M P a

E como falamos lá no passo 1, a relação do peso admissível e a tensão admissível são dados por:

P A D M = σ A D M A

E substituindo:

P A D M = 9,675 × 28880 = 279414 N

E em k N :

( b ) P A D M = 279,414 k N

Resposta

( b ) P A D M = 279,414 k N

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