Enunciado

Quatro pranchas de madeira, cada uma de 38x190mm de seção transversal, são firmemente pregadas juntas,

como mostrado, para formar uma coluna. Sabendo-se que para o tipo de madeira usado

E=12GPa e que a tensão admissível a compressão, na direção paralela as fibras, é de

10MPa, determinar a carga centrada admissível quando o comprimento efetivo da coluna é de:(a)2,4m;(b)4,35m

Passo 1

Fala meus projetistas de colunas, tudo certo?

Temos mais um projetinho de coluna de madeira centrada, e aqui a coluna é do tipo I e o cálculo é diferente de uma coluna retangular, vem comigo que eu mostro!

A gente calcula primeiro o parâmetro K ' , que é dado por:

K ' = 2,324 × E σ A D M   '

Onde:

σ A D M ' é a tensão admissível dada no enunciado.

E vamos comparar o parâmetro abaixo com K ' , avaliando alguns limites para o mesmo que nos darão cálculos diferentes para as tensões que levam ao peso admissível:

L e r

Onde:

L e   é o comprimento efetivo da coluna e r é o raio de giração.

Lembrando que:

r = I A

Temos 3 limites para avaliar, o primeiro caso é:

0 < L e r ≤ 38

Se estiver nesses limites a coluna é curta e traremos as fórmulas da tensão para esse caso. Para colunas intermediárias temos o nosso segundo caso:

38 < L e r < K '

E para colunas longas temos o último caso:

K ' < L e r < 173

Se por acaso L e r   não estiver contido nesses limites a coluna não pode ser projetada. Por fim traremos o seguinte para o peso admissível.

P A D M = σ A D M A

Passo 2

Vamos lá ao cálculo do nosso parâmetro K:

K ' = 2,324 × E σ A D M   ' = 2,324 × 12 × 10 3 10 = 80,5

E agora para o raio de giração vamos avaliar a figura:

Com as dimensões da figura vamos aos cálculos, e aqui vamos escolher o eixo y que é o eixo fraco pra esse tipo de seção e o seu momento de inércia é dado por:

I y = 2 I m e s a + I a l m a

Com:

I m e s a = h m e s a b m e s a 3 12 = 38 × 190 3 12 = 21,72 × 10 6 m m 4

E:

I a l m a = h a l m a b a l m a 3 12 = 190 × 38 3 12 = 868,8 × 10 3 m m 4

Substituindo na fórmula temos:

I y = 2 × 21,72 × 10 6 + 868,8 × 10 3

I y = 44,31 × 10 6 m m 4

E para o raio de giração também precisamos da área que é dada por:

A = 2 A m e s a + A a l m a = 2 × 190 × 38 + 38 × 190

A = 21660 m m 2

Enfim temos:

r y = I y A = 44,31 × 10 6 21660 = 45,23 m m

E enfim nosso parâmetro para o item a. onde temos L e = 2400 m m .

L e r = 2400 45,23 = 53,06

Avaliamos os limites e o nosso parâmetro está dentro do intervalo:

38 < L e r < K '

Pelos limites apresentados é classificada como coluna intermediária.

Passo 3

Para esse tipo de coluna a formulação das tensões vai ficar:

σ A D M = σ a d m ' 1 - 1 3 L e r K ' 4

E substituindo nossos valores temos:

σ A D M = 10 × 1 - 1 3 53,06 80,5 4 = 9,37 M P a

E como falamos lá no passo 1, a relação do peso admissível e a tensão admissível são dados por:

P A D M = σ A D M A

E substituindo:

P A D M = 9,37 × 21660 = 202954,2 N

E em k N :

( a ) P A D M = 202,954 k N

Resposta

( a ) P A D M = 202,954 k N

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