Enunciado

O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida a um cisalhamento V = 25 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima.

Passo 1

Pra começar, vamos dar uma olhada nas informações fornecidas pela questão:

Dados da questão: r = 30   m m ,   V = 25   k N

A questão pede: τ m a x = ?

A questão pede a tensão de cisalhamento máxima, lembre-se que o ponto de maior tensão cisalhante ocorre na linha neutra da seção e essa tensão de cisalhamento máxima pode ser calculada com a equação:

τ m a x = V Q I t

A gente já tem a nossa força cisalhante V, e t é a espessura da seção no ponto de interesse. Nossa meta aqui é ir atrás do momento estático Q, e do momento de inércia I.

Passo 2

A primeira conta que vamos fazer é calcular o momento de inércia da figura:

Onde o momento de inércia de um círculo é tabelado:

I = π r 4 4 = π × 30 4 4

I = 636,17 × 10 3   m m 4

Passo 3

Agora vamos pra parte mais complicada da questão. Calcular o momento estático!

A gente quer calcular a tensão máxima, e essa tensão irá ocorrer na linha neutra.

O nosso momento estático, ele é calculado do topo até o ponto onde queremos saber a tensão de cisalhamento, que nesse caso é qualquer ponto da linha neutra. Sendo assim, o nosso momento estático Q fica com essa cara aqui:

E para calcular esse momento estático Q , faremos:

Q = A × y c

Onde A é a área de laranja ali e y c é a posição do centroide dessa área.

O centróide de uma semi-circunferencia é tabelado, e pode ser encontrado nas tabelas no final do livro e é dado por:

y c = 4 r 3 π

E a área da semi-circunferência é metade da área de um círculo:

A = 1 2 π r 2

Então agora temos tudo que é preciso para calcular o momento estático da semi-circunferência:

Q = A ⋅ y c

Q Q = 1 2 π r 2 ⋅ 4 r 3 π

Rearrumando temos: Q Q = 2 r 3 3 = 2 × 30 3 3

E enfim

Q = 18 × 10 3   m m 3

Passo 4

Por ultimo vamos lembrar que t é a espessura da peça onde a gente quer encontrar a tensão e lembrando que a τ m á x   é no meio, na linha neutra, temos.

Daí voltamos pra nossa fórmula:

τ m a x = V Q I t

Para esse caso, t = 2 r

τ m a x = V Q I ⋅ 2 r

Substituindo os valores temos:

τ m a x = 25 k N ⋅ 18000   m m 3 636172   m m 4 ⋅ 2 ⋅ 30   m m

E como k N = 10 3 N .

τ m a x = 25000   N ⋅ 18000   m m 3 636172   m m 4 ⋅ 2 ⋅ 30   m m

Chegamos em:

τ m a x = 11,8 N m m 2  

E já sabemos que N m m 2 = M P a

τ m a x = 11,8   M P a

Resposta

τ m a x = 11,8   M P a

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