Enunciado

Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue

Passo 1

Como as forças são paralelas, coplanares e distribuída em uma linha no plano x y , podemos usar a seguinte equação para reduzi-las:

R = ∫ 0 l p   d x .

Nesse caso, p ( x ) = p 0   s e n   π   x   l e devemos notar que a força está distribuída numa linha de comprimento l 2 + l 2 = l . Então, devemos resolver a integral:

R = ∫ 0 l p 0   s e n   π   x   l   d x

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição de variáveis u = π   x   l , então x =   l   u π . Ou seja, d x =   l π d u . Além disso, temos que mudar os intervalos de integração: quando x = 0 , u = 0 e quando x = 0 , u = π l   l = π . Logo,

R = ∫ 0 π p 0   l π     s e n   u   d u = p 0   l π ∫ 0 π     s e n   u   d u = - p 0   l π c o s u | 0 π = - p 0   l π ( c o s   π - c o s   0 )

⇒ R =   - p 0   l π ( - 1 - 1 ) = 2   l   p 0 π

Como a força aponta no sentido positivo de y , então R → = 2   l   p 0 π   j ^

Passo 3

Devemos aplicar a força encontrada no passo anterior a um ponto dado pela expressão

x = ∫ 0 l p   x d x ∫ 0 l p   d x .

A integral do denominador foi resolvida no passo anterior. Para a integral do numerador, fazemos a mesma mudança de variáveis que anteriormente

∫ 0 l p 0 x   s e n   π   x   l   d x = ∫ 0 π p 0   l   u π     l π     s e n   u   d u = p 0   l 2 π 2 ∫ 0 π u     s e n   u   d u

Vamos resolver a integral separadamente usando integração por partes.

∫ 0 π u     s e n   u   d u = - u     c o s   u | 0 π + ∫ 0 π c o s   u   d u = π     c o s   π - 0 ⋅   c o s   0 + s e n   u | 0 π    

∫ 0 π u     s e n   u   d u = π + s e n   π - s e n   0 = π .

Agora que sabemos que o resultado da integral é π , obtemos ∫ 0 l p   x d x = p 0   l 2 π . Logo, para reduzir as forças representadas na figura, temos que aplicar uma força de módulo 2   l   p 0 π no ponto

x = p 0   l 2 π 2   l   p 0 π =   l   2 .

Resposta

Para reduzir as forças, temos que aplicar uma força de módulo 2   l   p 0 π no ponto x =   l   2 .

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