Enunciado

Localize o centro de massa do corpo sólido homogêneo cujo volume é determinado girando a área sombreada em 360 ∘ em torno do eixo z.

Passo 1

Primeiro, precisaremos determinar o coeficiente k. Coloque as coordenadas do ponto A na função r = kz ^ 3 para determinar o coeficiente k

200 = 300 3 k   ⇒   k = 200 300 3

Substituiremos k por 200 300 3 na função acima

r = 200 300 3 z 3

Passo 2

Observe que, como o corpo é homogêneo, o centro de massa e o centróide são iguais.

Vamos cortar a área sombreada e isolar a área de volume infinitesimal de espessura d = na distância z de distância do início do sistema de coordenadas.

d V = A d z (1)

A área do círculo isolado é

A = r 2 π

Como o raio segue a curva r = k z 3 , substituiremos r por k z 3

A = k z 3 2 π A = k 2 ≠ 6 π (2)

Substitua A pela expressão (2) na expressão (1)

d V = k 2 z 6 π d z (1.1)

Passo 3

Integrando a expressão (1.1) ao longo do intervalo [0≤z≤300], obteremos o volume total da figura

V = ∫ 0 300   d V

substitua d V pela expressão ( 1.1 )

V = ∫ 0 300   k 2 z 6 π d z

Note que k e π são constantes

V = k 2 π ∫ 0 300   z 6 d z

Integre o lado direito com relação a d z

V = k 2 π z 7 7 0 300

substitua z por 300 e k por 200 300 3

V = 200 300 3 2 π 300 7 7 = 5385587   m m 3

A expressão para o eixo t do centroide é:

v _ = ∫   : d V V z ‾ = 1 V ∫   = d V

Substitua d V pela expressão ( 1.1 )

Σ ‾ = 1 V ∫ 0 300   k 2 z 7 π d z

Note que k e π são constantes

v _ = k 2 π V ∫ 0 300   ϵ 7 d z

Integre o lado direito da equação com respeito a d :

E = k 2 π V 2 8 8 0 300

Substitua z por 300 e k e V por seus valores

∇ = 200 300 2 π 5385587 300 8 8

Passo 4

Por fim, a coordenada s do centroide é:

E - = 262.50   m m

Observe que, como a área sombreada gira em torno de :z -eixo, seu centróide fica sobre ela.

ou seja,

r - ¯ = 0

Resposta

                                      z - = 262.50 m m r - = 0

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