Enunciado

Referindo-se ao Problema 18.143, (a) provar que o elipsóide de Poinsot é tangente ao plano invariável, (b) mostrar que o movimento do corpo rígido deve ser tal que o elipsóide de Poinsot pareça rolar no plano invariável. [Dica: na Parte a, mostre que a normal ao elipsóide de Poinsot na ponta de 6) é paralela a Ho. Recorde-se que a direção da normal para uma superfície da equação F ( x , y , z ) = constante em um Ponto P é a mesma que a de grad F no Ponto P.]

Passo 1

O exercício pede que a gente (a) provar que o elipsóide de Poinsot é tangente ao plano invariável, (b) mostrar que o movimento do corpo rígido deve ser tal que o elipsóide de Poinsot pareça rolar no plano invariável. [Dica: na Parte a, mostre que a normal ao elipsóide de Poinsot na ponta de 6) é paralela a Ho. Recorde-se que a direção da normal para uma superfície da equação F ( x , y , z ) = constante em um Ponto P é a mesma que a de grad F no Ponto P.]

(a) do problema 18. 143 a equação do elipsoide poinsot é

I x ω x 2 + I y ω y 2 + 1 z ω z 2 = 2 T =  constant e

Deixe

F ω x , ω y , ω z = I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2

F = ∂ F ' ∂ ω x i + ∂ F ∂ ω y j + ∂ F ∂ ω z k = 2 I x ω x i + 2 I y ω y j + 2 I z ω z → k = 2 H O

Passo 2

(b) A direção da normal em um ponto na superfície do elipsóide é paralela a grad .F, que por sua vez é paralela a H O . Uma vez que H O é normal também ao plano invariável, segue-se que o elipsóide de Poinsot é tangente ao invariável plano no ponto comum ao plano e ao elipsóide. O elipsóide de Poinsot se move com o corpo. Assim, sua velocidade angular é ω , a velocidade angular do corpo. Uma vez que o Ponto 0 é considerado fixo, o vetor da velocidade angular encontra-se ao longo do eixo de rotação, ou o local dos pontos de velocidade zero. Assim, a velocidade do ponto de contato do elipsóide de Poinsot com o plano invariável é zero. O elipsóide de Poinsot rola sem deslizar no plano invariável.

Resposta

(a)   = 2 I x ω x i + 2 I y ω y j + 2 I z ω z → k = 2 H O

(b) velocidade dos pontos de contato é zero

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