Enunciado

Resolva o problema 13.8, considerando que a corda elástica é substituída por uma força central F de intensidade ( 80 / r 2 )   N voltada para O .

Passo 1

Oooi, galerinha!

Essa questão deve ser feita com base no Problema Resolvido 13.8, sendo que a corda elástica que prende a esfera à origem O deve ser substituída por F = ( 80 / r 2 ) N voltada para O . Observe a figura:

O enunciado fornece os seguintes dados:

m = 0,6   k g

v A = 20   m / s

E informa que a esfera pode deslizar sem atrito sobre a superfície horizontal. Na figura, vemos que

v θ A = v A   s e n   60 °

r A = 0,5   m

Nosso dever é determinar as distâncias máxima e mínima da esfera em relação a O e as velocidades correspondentes.

Sabemos que a força exercida na esfera passa pela origem O e que o seu trabalho pode ser expresso como uma variação de energia potencial. Assim, a energia total da esfera e a quantidade de movimento angular em relação a O são conservadas. Veja a figura:

A distância da origem é máxima no ponto B, onde a velocidade da esfera é perpendicular ao segmento OB, e mínima no ponto C, onde a velocidade da esfera é perpendicular ao segmento OC.

Passo 2

Aplicando o princípio da conservação do momento angular em torno de O:

r A m v A s e n   60 ° = r m m v m

v m = 0,5 ⋅ 20   s e n   60 ° r m

v m = 8,66 r m

Passo 3

Calculando a energia cinética e potencial:

No ponto A :

T A = 1 2 m v A 2

T A = 0,6 ⋅ 20 2 2 = 120   J

Sabendo que F = ( 80 / r 2 ) N , e que

V = ∫ F d r

Temos que,

V = ∫ 80 r 2 d r = ∫ ( 80 r - 2 ) d r

V = 80 ∫ r - 2 d r = - 80 r

E sendo r A = 0,5   m ,

V A = - 80 0,5 = - 160   J

Nos pontos B e C :

T B   e   C = 1 2 m v m 2

T B   e   C = 0,6 v m 2 2 = 0,3 v m 2

V B   e   C = - 80 r m

Passo 4

Aplicando agora o princípio da conservação de energia:

T A + V A = T B   e   C + V B   e   C

120 - 160 = 0,3 v m 2 - 80 r m

Substituindo v m 2 pela expressão encontrada anteriormente:

- 40 = 0,3 8,66 r m 2 - 80 r m

- 40 = 22,49868 r m 2 - 80 r m

- 40 = 1 r m 2 22,5 - 80 r m

r m 2 - 2 r m + 0,562467 = 0

Chegamos então a uma equação do 2º grau.

Passo 5

Resolvendo a equação encontramos os dois valores para r m , o máximo e o mínimo. Usaremos a fórmula de Bhaskara.

r m = 2 ± - 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 0,562467 2 ⋅ 1

r m = 2 ± 1,323 2

A distância máxima da esfera em relação a O é

r m á x   = 1,6615   m

E a distância mínima é

r m í n = 0,3385   m

Passo 6

Em posse das distâncias máxima e mínima, podemos calcular as velocidades correspondentes. Temos que,

v m = 8,66 r m

Então, sendo r m á x = 1,6615   m :

v B = 8,66 1,6615 = 5,21   m / s = v m í n

E sendo r m í n = 0,3385   m :

v C = 8,66 0,3385 = 25,58   m / s = v m á x

Resposta

a )   r m á x   = 1,6615   m

r m í n = 0,3385   m

b )   v m í n = 5,21   m / s  

v m á x = 0,2558   m / s

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