Enunciado

Resolva o Problema 7.22 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar um ponto para a rotação de 25° do plano a-a.

Feito isso, conseguimos encontrar as expressões para a tensão normal e de cisalhamento nesse ponto, depois disso fica fácil! É só isolar a força P que aparece nas equações e encontrar P para os dois casos, e aí pegar o menor valor entre eles, para que as duas tensões admissíveis sejam respeitadas. Então bora!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em y, então teremos:

Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:

sigma_x = 0

sigma_y = (P)/(A)

tau_x y = 0

Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (0 + (P)/(A))/(2) -> sigma_m e d = (P)/(2 A)

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (0 , 0)

Y : (sigma_y , tau_x y) = ((P)/(A) , 0)

C : (sigma_m e d , 0) = ((P)/(2 A) , 0)

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos ver que o seu raio será metade da tensão em Y, ou seja:

R = (sigma_y)/(2) = ((P)/(A))/(2) -> R = (P)/(2 A)

Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial de 25° para podermos encontrar o estado de tensão no plano a-a. Sendo assim, rotacionando o elemento em 25°, ou seja, percorrendo 50° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Agora precisamos encontrar as expressões para os valores da tensão normal e de cisalhamento nesse novo ponto Y’ para poder comparar com a tensão admissível fornecida no enunciado. Vamos lá! Começando pela tensão de cisalhamento, através de trigonometria, temos:

tau_y^' = R s e n (50 °) = (P)/(2 A) s e n (50 °)

Beleza! Vamos deixar essa expressão guardada. Agora, a tensão normal no novo ponto será dada por:

sigma_y^' = sigma_m e d + R c o s (50 °) = (P)/(2 A) + (P)/(2 A) cos (50 °)

sigma_y^' = (P)/(2 A) [1 + cos (50 °)]

Passo 4

Estamos quase lá! Agora, para usarmos as equações que encontramos no passo 3, falta calcular o valor da área da seção transversal, dessa forma, teremos:

A = b h = (0,05) (0,08) -> A = 4 . 10^(- 3) m^2

Beleeza! Agora vamos encontrar a máxima força P admissível levando em conta a tensão de cisalhamento, então, teremos:

tau_y^' = (P)/(2 A) s e n (50 °)

Isolando P dessa equação e substituindo os valores conhecidos, teremos:

P = (2 A tau_y^')/(s e n (50 °)) = (2 (4 . 10^(- 3)) (600.10^3))/(s e n (50 °)) -> P = 6265,9 N

Essa é a máxima força P considerando a tensão de cisalhamento! Agora precisamos verificar a mesma força, só que para a tensão normal, então, da equação encontrada no passo 3, temos:

sigma_y^' = (P)/(2 A) [1 + cos (50 °)]

Isolando P e substituindo os valores conhecidos, temos:

P = (2 A sigma_y^')/(1 + cos (50 °)) = (2 (4 . 10^(- 3)) (8 00.10^3))/(1 + c o s ( 50 ° )) -> P = 3895,8 N

Opa! Esse valor é menor do que o encontrado para a condição de cisalhamento. Então, como precisamos atender as duas condições, pegamos o menor valor de P encontrado. Sendo assim, nossa força P admissível será:

P_a d m = 3895,8 N

Tá feeito!

Resposta

P_a d m = 3895,8 N

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Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .
Para o elemento mostrado, determine o intervalo de valores de τ x y para os quais a tensão de tração máxima é igual ou menor que 60 MPa.