Enunciado

Resolva o Problema 8.28 se o diâmetro da haste for 12   mm . Use o método da área transformada discutido na Seção 6.6 . E a ç o = 2 00   GPa , E c = 25   GPa .

Passo 1

A uma viga de concreto sobre dois apoios simples possui uma haste A B que serve para aliviar a viga de qualquer tração.

Características da viga:

  • Comprimento: 2,4   m .
  • Largura: 450   mm .
  • Espessura: 300   mm .
  • Área transversal: A c o n c = 300 ⋅ 450 = 135000   mm 2
  • Módulo de elasticidade da viga: E c o n c = 25   GPa
  • Peso específico: ρ = 24   kN/m 3 .
  • Características da haste A B :

  • Diâmetro: d = 12   mm .
  • Área transversal: A a ç o = π d 2 / 4 = 113,097335   mm 2
  • E a ç o = 2 00   GPa
  • Posição do centro: a 50   mm dos apoios (altura na seção) e no meio da seção transversal

O peso da viga irá forçá-la para baixo. Queremos saber qual tração T deve ter na haste A B para que na seção a - a não tenhamos tração na viga!

A questão pede parar usarmos o “método da área transformada”. E realmente é uma boa, porque temos dois materiais no problema. Vamos começar calculando as propriedades da viga transformada.

Passo 2

Queremos trabalhar com uma viga equivalente, de um só material, para podermos usar nossas fórmulas de costume. Vamos transformar a área de aço em concreto. Calculamos o fator de transformação n :

n = E a ç o E c o n c = 8

A área A a ç o ' do aço transformado será

A a ç o ' = 8 A a ç o = 904,778680   mm 2

Essa área A a ç o ' é pra ser considerada como feita de concreto! Afinal, transformamos de aço para concreto.

Beleza. Como a transformação aumenta a área ( A a ç o ' > A a ç o ) , você pode imaginar que “enchemos” de concreto o buraco (haste A B ) e ainda sobrou um pouco mais de concreto. Devemos considerar essa sobra Δ A   como concentrada (“achatada”) na mesma posição que estava a barra de aço: a 50   mm dos apoios (altura), e o valor dela é

Δ A = A a ç o ' - A a ç o = 791,681348   mm 2

Tá, mas pra que estamos calculando isso? Porque com a transformação, mudou a área total A ' e o mudou o segundo momento de área I x ' ! Precisamos desses caras para as fórmulas!

Passo 3

A área total após a transformação vai ser a viga inteira de concreto (“buraco” preenchido!) mais o excesso de concreto:

A ' = A c o n c + Δ A = 135791,6813   mm 2

O segundo momento de área I x ' é um pouquinho mais complicado. Antes precisamos da posição do novo centroide y - ' . Faça por composição. Usando o topo da viga como referência, A c o n c está na metade e Δ A está a 450 - 50 = 400   mm (concentrada, lembre-se!):

y - ' = A c o n c ⋅ 450 / 2   mm + Δ A ⋅ 400   mm A '

y - ' = 226,020271   mm

Essa é a distância a partir do topo da viga! Com isso aí, podemos calcular I x ' . Usando o teorema dos eixos paralelos fica fácil, é só descontar a posição do centroide.

  I x ' = 1 12 300 ⋅ 450 3   mm 4 + A c o n c ⋅ 450 2  mm - y - ' 2 + Δ A ⋅ 400   mm - y - ' 2

I x ' = 2302228889   mm 4

Ufa! Agora a questão volta ao natural dela. Podemos usar as fórmulas à vontaaaade!

Passo 4

Vamos ver uma seção da viga indo da extremidade na direita até a seção transversal a - a .

O peso da viga atua no meio da seção. A intensidade vai ser o volume dessa seção (a área transversal A vezes 1,2   m ) vezes o peso específico ( ρ ) .

O diagrama de corpo livre vai nos mostrar como as forças agem.

Queremos zerar a tração na direção x . Dois efeitos causam essa tensão na seção a - a : um devido a F x e outro devido a M . Cuidado para não se confundir no sinal! Raciocine pensando nas direções que você assumiu no diagrama! Nessa figura, a compressão da seção a - a tem sinal positivo ( x ) e a tração tem sinal negativo ( - x ) .

  • F x comprime ( x ) .
  • M causa compressão ( x ) para y < 0 e tração ( - x ) para y > 0 (eixo neutro no centro da viga).

O balanço da tensão na direção x fica

σ x = F x A ' - M y I x '

A tração só vai ocorrer em y > 0 . Para não ter tração, o valor máximo dela tem que ser cancelado pela compressão. O valor máximo de tração vai ocorrer topo da viga, que é o ponto mais distante do eixo neutro!

Fique atento que o eixo neutro não está no centro da viga! Ele está no centroide agora!

O balanço da tensão na direção x fica

0 = F x A ' - M ⋅ y - ' I x '

Beleza! Então precisamos descobrir quem é F x e M , e achar o que isso tem a ver com a tração T da haste A B .

Passo 5

Condições de equilíbrio! Olhe pra figura no Passo 2 . Forças na horizontal:

∑ F x = 0       →         F x = T

Show! O T que queremos já entrou na história!

O equilíbrio de forças na vertical não vai nos ajudar. Vamos ver o equilíbrio de momentos na seção a - a , ao redor do ponto O posicionado no eixo neutro (centroide):

∑ M O = 0       →         M - 0,6   m ⋅ 1,2   m ⋅ A ' ρ + 1,2   m ⋅ R y - ( 400   mm - y - ' ) ⋅ T = 0

M = 173,979729   mm ⋅ T - 1,2   m ⋅ R y + 2,346480   kNm

Se calcularmos o R y , teremos o F x e o M dependendo só de T . É tudo que a gente quer!

Para achar R y   é só lembrar que a reação vertical dos apoios tem que aguentar o peso da viga, e a reação em cada apoio é a mesma por causa da simetria. Fazendo o equilíbrio para a toda viga:

∑ F y = 0       →         2 R y = 2,4   m ⋅ A ' ρ

R y = 3,910800   kN

Voltando ao momento:

R y = 3,910800     kN       →         M = 173,979729   mm ⋅ T - 4,69296   kNm + 2,346480   kNm

M = 173,979729   mm ⋅ T - 2,34648   kNm

Agora só temos uma incógnita ( T ) , só falta fazer umas continhas.

Passo 6

Voltando à equação que queremos forçar ser verdade, substitua F x = T , M = 175   mm ⋅ T - 2,34648   kNm , A ' e I x ' :

0 = T 0,1357916813   m 2 - ( 173,979729   mm ⋅ T - 2,34648   kNm ) ⋅ 226,020271   mm 2,302228889 ⋅ 10 - 3   mm 4

0 = 0,01695412   m 2 ⋅ T - 0,03932296   m 2 ⋅ T + 0,53035205   kNm 2

T = 23,7094   kN

Resposta

Tração na haste A B :   T = 23,7094   kN .

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