Enunciado

9. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. Moste o resultado em um desenho.

Passo 1

Olhando a figura do enunciado, tiramos no estado plano de tensão, que:

σ x = 90   M P a , tensão normal de tração

σ y = 50   M P a , tensão normal de tração

τ x y = - 35   M P a , com valor negativo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes

φ = 60 ° , é o ângulo do plano inclinado com a horizontal

θ = 30 ° , é o ângulo do plano inclinado com a vertical, considerando o sentido anti-horário como positivo. E é esse ângulo, que vamos utilizar em nossos cálculos.

Passo 2

Agora, vamos aplicar as equações de transformação de tensão para determinar o valor de σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' .

Sabemos que σ x ' é dado em função das tensões normais σ x e σ y e da tensão cisalhante τ x y , pela seguinte fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Substituímos então, os valores numéricos pertinentes a cada variável:

σ x ' = 90   M P a + 50   M P a 2 + 90   M P a - 50   M P a 2 cos ⁡ ( 2 ∙ 3 0 ° ) + ( - 35   M P a ) sen ⁡ ( 2 ∙ 3 0 ° )

σ x ' = 70 M P a + ( 20 M P a ) cos ⁡ ( 6 0 ° ) + ( - 35   M P a ) sen ⁡ ( 6 0 ° )

σ x ' = 49,7   M P a

E conhecemos também, a fórmula do nosso σ y ' , que tem o seguinte aspecto:

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

Substituímos o valor de cada variável:

σ y ' = 90   M P a + 50   M P a 2 - 90   M P a - 50   M P a 2 cos ⁡ ( 2 ∙ 3 0 ° ) ⁡ -   ( - 35   M P a ) sen ⁡ ( 2 ∙ 3 0 ° )

σ y ' = 90,3   M P a

Por fim, falta apenas usar a fórmula para encontrar a tensão cisalhante τ x ' y ' , que tem a seguinte cara:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

E substituindo os valores numéricos adequados, chega-se a:

τ x ' y ' = - ( 90   M P a - 50   M P a ) 2 sen ⁡ ( 60 ° ) ⁡ +   ( - 35   M P a ) cos ⁡ ( 60 ° )

τ x ' y ' = - 34,8   M P a

Pronto! Encontramos as nossas tensões no elemento orientado de 30 ° com a vertical.

Passo 3

E as nossas novas tensões, vão estar dispostas de acordo com a seguinte imagem, sem os valores numéricos, é claro, por se tratar de uma representação.

σ x ' e σ y ' tem a direção descrita na imagem, porque são trações compressivas. Já o valor obtido para τ x ' y ' foi negativo, por isso as setas de tensão cisalhantes convergem para o segundo e quarto quadrantes, como na figura acima.

Resposta

σ x ' = 49,7   M P a

σ y ' = 90,3   M P a

τ x ' y ' = - 34,8   M P a

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