Enunciado

Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de tal modo que há uma folga de 0,2   mm entre eles quando T 1 = 15   ° C . Cada haste tem diâmetro de 30   mm . α a l = 24 10 - 6 / ° C , E a l = 70   GPa , α c o b r e = 17 10 - 6 / ° C , E c o b r e = 126   GPa . Determine a tensão normal média em cada haste se T 2 = 150   ° C . Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio.

Passo 1

Oláaaa, querido! Cê está bem? Vamos avaliar a situação que temos aqui!

Temos duas hastes presas, mas elas não se encostam. Mas com o aumento de temperatura, elas irão sofrer expansão térmica, e vão crescer de comprimento e passarem a se tocar.

Aí uma começa a aplicar uma força na outra, já que ambas querem se expandir além do espaço disponível. Isso gera uam tensão nas duas hastes.

Características da haste de cobre:

  • Cobre: E c o b r e = 126   GPa , α c o b r e = 17 10 - 6 / ° C .
    • Comprimento inicial: L c o b r e = 100   mm .

    Características da haste de alumínio:

  • Alumínio: E a l = 70   GPa , α a l = 24 10 - 6 / ° C .
  • Comprimento inicial: L a l = 200   mm .

A temperatura inicial nas duas hastes é T 1 = 10   ° C .

As hastes estão presas em paredes rígidas, e há uma folga de 0,2   mm entre elas.

Quando as hastes esquentarem, elas irão expandir. Quando a temperatura chegar em T 2 = 150   ° C , queremos saber qual é a tensão em cada haste e qual o novo comprimento da haste de alumínio. Bora!

Passo 2

Vejamos o que acontece com cada haste:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão das hastes. Então a haste de cobre vai ser alongar δ T c o b r e e a haste de alumínio vai ser alongar δ T a l
  • As hastes vão se encostar, aí cada haste que quer se expandir vai forçar a outra, comprimindo essa outra com uma força F . Essa força tende a reduzir as hastes. Então a haste de cobre vai ter um encurtamente δ f c o b r e e a de alumínio um encurtamento de δ F a l

As paredes são fixas (rígidas), então o resultado aí de toda essa mudança de comprimento (expansão e compressão em cada haste) tem que ser o tamanho da folga!

Temos que escrever uma equação com isso tudo. A haste de cobre expande ( + ) δ T c o b r e e reduz ( - ) δ F c o b r e . A haste de alumínio expande ( + ) δ T a l e reduz ( - ) δ F a l . A soma dos totais é igual ao comprimento da folga:

δ T c o b r e - δ F c o b r e + δ T a l - δ F a l = 0,2   mm

Passo 3

Temos fórmulas pra todos esses termos! Percebe que a expansão das hastes acontece por causa da mudança de temperatura, então vamos usar a fórmulinha do alongamento por temperatura:

δ T c o b r e = α c o b r e   Δ T   L c o b r e

δ T a l = α a l   Δ T   L a l

E a compressão das hastes vai ser causada pela força que uma haste exerce sobre a outra. Então vamos usar a relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Nós queremos a tensão em cada haste. Vamos substituir logo a fórmula dela na equação acima pra deixar tudo pronto pra aplicar. Temos

σ = F A → F = σ A

Substituindo na equação de cima:

δ F = σ A   L A   E  

δ F = σ L   E

Então os encurtamentos são dados por

δ F a l = σ a l L a l E a l

δ F c o b r e = σ c o b r e L c o b r e E c o b r e

Beleza! Temos um jeito de chegar até a tensão.

Passo 4

Vamos aplicar as fórmulas. A variação térmica foi Δ T = 150 - 15 = 135   ° C .

Então a expansão da haste de cobre foi:

δ T c o b r e = α c o b r e   Δ T   L c o b r e

δ T c o b r e = 0,2295   mm

E a da haste de alumínio:

δ T a l = α a l   Δ T   L a l

δ T a l = 0,6480   mm

Passo 5

Agora vamos usar a relação carga-deslocamento.

δ F a l = σ a l L a l E a l

δ F c o b r e = σ c o b r e L c o b r e E c o b r e

Vamos parar para pensar um pouco. As hastes tem o mesmo diâmetro, então a área delas é igual. E a força que a haste de alumínio exerce na de cobre vai ser a força que essa haste de cobre recebe por causa da lei de ação e reação.

Como a tensão depende da área e da força aplicada, as tensões nessas duas hastes vão ser iguais:

σ c o b r e = σ a l = σ

Logo, podemos calcular o encurtamente da haste cobre assim:

δ F c o b r e = σ L c o b r e E c o b r e

δ F c o b r e = 0,7936 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N ⋅ σ

E da haste de alumínio:

δ F a l = σ L a l E a l

δ F a l = 2,8571 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N ⋅ σ

Passo 6

Voltando à condição de compatibilidade:

δ T c o b r e - δ F c o b r e + δ T a l - δ F a l = 0,2   mm

Substituindo o que a gente achou aí e simplificando:

0,8775   mm - 3,6507 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N   ⋅ σ =   0,2   mm

Isolando σ :

σ = 185,58   MPa

Passo 7

A questão também pede o novo comprimento da haste de alumínio. Ela vai sofrer expansão térmica e vai encurtar por causa da força. Então o comprimento final dela é:

L a l f i n a l = L a l + δ T a l - δ F a l

Já calculamos todos esses δ , agora é substituir:

L a l f i n a l = 200   mm + 0,6480   mm - 2,8571 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N   ⋅ 185,58   MPa

L a l f i n a l = 200,1178   mm

Resposta

σ = 185,58   MPa

.

L a l f i n a l = 200,1178   mm

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