Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta A x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = A y - 40 ⋅ 0,9 - 35 - ( 40 ⋅ 0,9 ) + B y = 0

A y + B y = 107   k N

Agora calma aí!! Antes de ir e calcular o momento para achar B y a gente pode ver que esse carregamento todo é simétrico logo A y = B y . Assim,

A y = B y = 107 2 = 53,5   N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 40 - 40 ⋅ x - 1,2 0 + 40 ⋅ x - 3,3 0

obs: A gente não poderia deixar apenas 40 porque no meio não há carregamento, por isso aparece o termo negativo. Por causa deste termo negativo que temos o último termo também para que tudo “volte ao normal”

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

V x = - ∫ 40 - 40 ⋅ x - 1,2 0 + 40 ⋅ x - 3,3 0 ⋅ d x

V x = - 40 x + 40 ⋅ x - 1,2 1 - 40 ⋅ x - 3,3 1 + C

Aqui é importante notar que a constante C é igual à força de reação em A mais a força de 35

C = 53,5 + 35 ⋅ x - 2,1 0

V x = - 40 x + 40 ⋅ x - 1,2 1 - 40 ⋅ x - 3,3 1 + 53,5 + 35 ⋅ x - 2,1 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ - 40 x + 40 ⋅ x - 1,2 1 - 40 ⋅ x - 3,3 1 + 53,5 + 35 ⋅ x - 2,1 0 ⋅ d x

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ x - 1,2 2 - 20 ⋅ x - 3,3 2 + 53,5 x - 35 ⋅ x - 2,1 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro, que somente existe em B portanto pode ser ignorado:

C = 0

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ x - 1,2 2 - 20 ⋅ x - 3,3 2 + 53,5 x - 35 ⋅ x - 2,1 1

Passo 6

Para achar o ponto de momento fletor máximo é só igualar o cortante a zero e depois utilizar esse ponto na equação do momento fletor:

V x = - 40 x + 40 ⋅ x - 1,2 1 - 40 ⋅ x - 3,3 1 + 53,5 + 35 ⋅ x - 2,1 0

Mas antes da gente começar a fazer um monte de cálculo igual a uns loucos já vou te avisar que essa função não vai ser igual a zero em nenhum ponto!

Então como que a gente vai fazer?? FEELING meus jovens!!!

Por que, feeling? Porque existe uma simetria na figura e além disso sempre que há uma força pontual esse ponto é um grande candidato a ser o ponto de maior momento fletor. Assim o ponto de maior momento fletor dessa viga é em x = 2,1   m .

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ x - 1,2 2 - 20 ⋅ x - 3,3 2 + 53,5 x - 35 ⋅ x - 2,1 1

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ ( x - 1,2 ) 2 - 20 ⋅ 0 2 + 53,5 x - 35 ⋅ 0 1

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ x - 1,2 2 + 53,5 x

M x = - 20 2,1 2 + 20 ⋅ 2,1 - 1,2 2 + 53,5 ⋅ ( 2,1 )

M m á x = 42,15   N ⋅ m

Resposta

a)

V x = - 40 x + 40 ⋅ x - 1,2 1 - 40 ⋅ x - 3,3 1 + 53,5 + 35 ⋅ x - 2,1 0

M x = - 20 x 2 + 20 ⋅ x - 1,2 2 - 20 ⋅ x - 3,3 2 + 53,5 x - 35 ⋅ x - 2,1 1

b)

M m á x = 42,15   N ⋅ m

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