Enunciado

Em uma roda de turbina Pelton, o jato de água é defletido por uma série de pás de modo que a taxa com a qual a água é defletida pelas pás é igual à taxa com a qual a água sai do bocal ( Δ m / Δ t = A ρ v A ). Usando a mesma notação do Problema Resolvido 14.7, (a) determine a velocidade V das pás para que a potência máxima seja desenvolvida, (b) deduza a expressão para a máxima potência, (c) deduza uma expressão para a eficiência mecânica.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Para a gente resolver essa questão, vamos escolher um sistema de coordenadas que se desloca com a pá, com velocidade constante V. Dessa forma, as partículas de água atingem a pá com uma velocidade relativa u A = v A - V e deixam a pá com uma velocidade u B , como pode ser visto na figura abaixo:

Como u A = u B = u , a vazão mássica é dado por:

Δ m Δ t = ρ A v A

Utilizando o princípio de impulso e quantidade de movimento:

Δ m u - F t Δ t = Δ m u cos ⁡ θ

F t = Δ m Δ t u ( 1 - cos ⁡ θ )

F t = ρ A v A ( v A - V ) ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 2

A força tangencial exercida sobre o fluido tem o sentido para esquerda. Pela 3ª Lei de Newton, a força tangencial sobre a pá tem sentido para direita. Assim a potência é dada por:

P o t = F t V

P o t = ρ A v A v A - V 1 - cos ⁡ θ V

A potência máxima ocorre quando dPot/dV = 0. Logo, a velocidade V na potência máxima:

d P o t d V = ρ A v A - 2 V 1 - cos ⁡ θ = 0

V = 1 2 v A

Assim, a potência máxima pode ser calculada como:

P o t m á x = ρ A v A v A - 1 2 v A 1 - cos ⁡ θ 1 2 v A

P o t m á x = 1 4 ρ A v A 3 ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

A eficiência mecânica é uma razão entre a potência de entrada, que é a taxa de energia cinética fornecida pelo escoamento, e a potência de saída gerada pelas pás. A potência de entrada é calculada como:

P i n = 1 Δ t 1 2 Δ m v A 2 = 1 2 Δ m Δ t v A 2  

P i n = 1 2 ρ A v A 3

A eficiência é:

η = P o t P i n = ρ A v A v A - V 1 - cos ⁡ θ V 1 2 ρ A v A 3

η = 2 1 - V v A 1 - cos ⁡ θ V v A  

Resposta

  1. V = 1 2 v A
  2. P o t m á x = 1 4 ρ A v A 3 ( 1 - cos ⁡ θ )
  3. η = 2 1 - V v A 1 - cos ⁡ θ V v A
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