Enunciado

Sabendo-se que um coeficiente de segurança de 2,6 é desejado determinar a maior carga P que pode ser aplicada a estrutura mostrada. Usar E=200GPa e considerar somente flambagem no plano da estrutura.

Passo 1

Fala aí, bora resolver mais uma questão topzinha?

Aqui o nosso pensamento deve ser o seguinte, aquela carga P não é a causadora direta da flambagem, as reações nos apoios é que serão responsáveis e vale lembrar que somente esforços de compressão, sendo assim vamos fazer um diagrama de corpo livre e olhar onde pode acontecer cada esforço.

A dica pra fazer esse desenho é sempre desenhar duas setinhas saindo do meio de cada barra combatendo um esforço externo ou de outra barra e no fim, as ações devem se anular. De vermelho são as quais estão comprimidas e as de verde são as tracionadas, e para flambagem somente as comprimidas nos interessam, a partir daqui vamos relacionar os esforços de cada barra com o peso P e considerar que eles são o peso admissível que resistem com segurança a flambagem. Lembrando que do fator de segurança a gente tem a relação.

F S = P C R P A D M

E que pro peso crítico é dado por:

P C R = π 2 E I L e 2

Passo 2

Vamos agora encontrar os esforços de compressão nas barras mas antes precisamos das reações de apoio.

Pelo somatório das forças externas a gente vê que:

∑ F H = H C = 0

E:

∑ F V = V C + V A - P = 0

Se a gente pegar o ponto A como referência e calcular o somatório dos momentos fletores poderemos ver que para o sentido horário negativo temos:

∑ M A = 1,5 V C - 0,5 P = 0

V C = 0,5 P 1,5 = 0,33 P

Voltando na equação dos esforços verticais a gente substitui V c :

V A = P - 0,33 P = 0,67 P

Beleza, agora que encontramos as reações bora partir pro calculo das forças de compressão que podem causar flambagem, com a figura do DCL a gente pode observar que fazendo Pitágoras que:

L A B = 0,5 2 + 0,5 2 = 0,707 m

E por semelhança a gente pode calcular da seguinte forma:

L A B 0,5 = F A B V A

Rearrumando temos:

F A B = V A L A B 0,5 = 0,67 P × 0,707 0,5 = 0,95 P

E para a outra barra comprimida, também por Pitágoras encontramos seu comprimento.

L B C = 1 2 + 0,5 2 = 1,12 m  

E da mesma forma por semelhança:

L B C 0,5 = F B C V C

F B C = V C L B C 0,5 = 0,33 P × 1,12 0,5 = 0,74 P

Passo 3

Maneiro, calculamos os esforços em cada barra, mas e aí? Bom pra que a estrutura resista a flambagem com aquele fator de segurança essa relação precisa ser satisfeita:

P a d m = F A B

porém teremos que avaliar para ambas as barras e encontrar o menor valor de P para que o esforço não seja maior que o admissível.

Lembrando que:

P a d m = P C R F S

Sendo assim:

P C R = π 2 E I L e 2  

E como a seção é circular temos:

I = π d 4 64 = π × 15 4 64 = 2,485 × 10 3 m m 4

E aí:

P C R = π 2 × 200 × 2,485 × 10 3 707 2 = 9,82 k N

Sendo assim temos:

F A B = 9,82 2,6 = 3,78 k N

E como calculamos:

F A B = 0,95 P

E enfim:

P = 3,78 0,95 = 3,98 k N

Passo 4

A outra possibilidade que temos de avaliar é a barra BC:

P a d m = F B C

Lembrando que:

P a d m = P C R F S

Sendo assim:

P C R = π 2 E I L e 2  

E precisamos do momento de inércia da barra que é:

I = π d 4 64 = π × 20 4 64 = 7,85 × 10 3 m m 4

E enfim nos dá:

P C R = π 2 × 200 × 7,85 × 10 3 1120 2 = 12,35 k N

F B C = P a d m = 12,35 2,6 = 4,75 k N

Enfim com o valor relacionado a P que tiramos no passo 2, temos:

F B C = 0,74 P

Substituindo e isolando P:

P = 4,75 0,74 = 6,42 k N

Entre os dois, ficamos com o menor valor que é o valor limite para esse fator de segurança:

P = 3,98 k N

Resposta

P = 3,98 k N

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