Enunciado

Uma coluna de comprimento efetivo L pode ser confeccionada pregando-se firmemente as pranchas idênticas, tal como mostrado. Para a espessura das pranchas indicadas, determinar a razão entre a carga crítica usando o arranjo a, e a carga crítica usando o arranjo b.

Passo 1

Fala meu povo, bora resolver rapidinho essa aqui?

Bom o enunciado nos pede a razão entre as cargas críticas dos arranjos de forma que eles tenham o mesmo material e mesmo comprimento efetivo. Bora dar uma olhada na fórmula da carga crítica.

P C R = π 2 E I L e

Repare que nessas condições a única coisa que vai ser diferente é o momento de inércia!

Então podemos dizer que:

P C R a P C R b = I a I b

Nossa meta então é calcular os momentos de inércia e resolver essa parada!

Passo 2

O momento de inércia da disposição a é simples, com as pranchas unidas temos uma seção do tipo quadrada maciça.

I a = d 4 12

Para a seção composta vale a gente analisar melhor:

Esse tipo de seção I, tem o momento de inércia que pode ser encontrado calculando o momento de inércia das partes separadas.

I = I a l m a + 2 I m e s a

Muita atenção aqui, esse tipo de peça possui um eixo mais fraco, normalmente calcula se para os dois casos e avalia-se o eixo mais fraco mas para seções do tipo I o eixo fraco é o eixo y pois é em torno desse eixo que a peça possui maior chance de girar.

I y a l m a = d × d 3 3 12 = d 4 324

I y ( m e s a ) = d 3 × d 3 12 = d 4 36

Substituindo esses valores na fórmula mostrada para o cálculo do momento de inércia da seção temos:

I = d 4 324 + 2 d 4 36 = 19 d 4 324

R = I a I b = d 4 12 1 9 d 4 324  

Rearrumando isso com nossa bela regra de frações de repetir o primeiro e multiplicar pelo inverso do segundo temos:

R = d 4 12 × 324 19 d 4 = 1,421

Resposta

R = 1,421

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