Enunciado

Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em torno de um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7   k N ⋅ m , determinar a intensidade total da força atuando: (b) na porção sombreada da alma.

Passo 1

Queremos encontrar a força total sobre esse pedaço da alma. A gente pode lembrar que a força total sobre uma área pode ser escrita como:

F = ∫ a b σ x   d A

Então, o que precisamos fazer é calcular essa integral para essa área.

Vem comigo!

Passo 2

Como nossa viga é simétrica, nosso centroide da seção fica exatamente no meio da viga, onde está a origem do nosso sistema de coordenadas na figura.

Como a largura dessa área é constante e igual a 50   m m = 0 , 05   m , podemos reescrever o termo:

d A = 0 , 0 5   d y

E olhando para o eixo y , nossa área começa em y = - 0,05 e termina em y = 0 . Aí nossa integral fica assim:

F = ∫ - 0,05 0 0 , 05 σ x d y

Passo 3

Precisamos achar a expressão de σ x em função de y . Podemos escrever:

σ x = - M y I

Sabemos que M = 5,7 ⋅ 10 3   N ⋅ m . Precisamos achar I para a seção da viga. Vamos dividir ela em 3 retângulos e calcular:

I = ∑ I - + A d 2 = ∑ 1 12 b h 3 + b h d 2

O primeiro retângulo é o que forma a base superior. Ele tem base b = 0,15   m e altura h = 0,0375   m . E a gente vê que a distância do centroide desse retângulo para o centroide da seção é:

d 1 = 0,05 + 0,0375 2 = 0,06875   m

O segundo retângulo pode ser o da aba inferior. Ele vai ter as mesmas características do primeiro retângulo:

d 2 = 0,06875   m ,     b = 0,15   m ,     h = 0,0375   m

O terceiro vai ser o que forma a alma da seção. Para ela temos que:

d 3 = 0 ,     b = 0,05   m ,     h = 0,1   m

O somatório fica:

I = ∑ 1 12 b h 3 + b h d 2 =

I = 2 1 12 0,15 ⋅ 0,0375 3 + 0,15 ⋅ 0,0375 ⋅ 0,06875 2 + 1 12 0,05 ⋅ 0,1 3

I = 5,8 ⋅ 10 - 5   m 4

Passo 4

Nossa expressão para σ x fica:

σ x = - M y I = - 5,7 ⋅ 10 3 ⋅ y 5,8 ⋅ 10 - 5

E a integral fica:

F = - ∫ - 0,05 0 0 , 05 ⋅ 5,7 ⋅ 10 3 ⋅ y 5,8 ⋅ 10 - 5 d y

F = 6,1   k N

Ufa! Conseguimos!

Resposta

F = 6,1   k N

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