Enunciado

Se A , B e D são vetores, prove a propriedade distributiva para o produto vetorial, ou seja, A × B + D = A × B + ( A × D ) .

Passo 1

Partimos da ideia de que cada vetor possui as três coordenadas cartesianas, isto é:

A = A x i + A y j + A z k

B = B x i + B y j + B z k

D = D x i + D y j + D z k

Passo 2

Aplicando o produto vetorial dado, tem-se que:

A × B + D = i j k A x A y A z B x + D x B y + D y B z + D z =

= A y B z + D z - A z B y + D y i + A z B x + D x - A x B z + D z j + A x B y + D y - A y B x + D x k

Passo 3

Rearranjando esta soma vetorial:

A × B + D = A y B z - A z B y i + A z B x - A x B z j + A x B y - A y B x k + A y D z - A z D y i + A z D x - A x D z j + A x D y - A y D x k

Passo 4

Cada termo dentro dos colchetes representa um produto vetorial diferente, tal que:

A × B + D = i j k A x A y A z B x B y B z + i j k A x A y A z D x D y D z

Que representa, portanto

A × B + D = A × B + ( A × D )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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