Enunciado

Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de 50   m m sofre uma deformação de 0,40   m m / m m quando a tensão é de 490   M P a . Se σ e =   315   M P a quando ϵ e =   0,0025   m m / m m , determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.

Passo 1

Oláaaa, querido! Tá bem?

Então, a gente tem um corpo de prova sendo tracionado.

A gente quer encontrar o valor da distância entre os pontos de referência quando essa carga for aliviada, ou seja, queremos encontrar o valor da distância entre os pontos de referência quando a carga deixa de ser aplicada com toda sua intensidade.

Mas repara que a tensão nele chega 490   M P a , que é maior que a tensão de escoamento σ e = 315   M P a . Ou seja, a deformação que ele sofre não vai ser só elástica, e haverá uma deformação permanente depois que não houver mais carregamento.

É essa deformação permanente que a gente quer para saber a distância final entre os ponto de referência. Cê pode imaginar que essa distância entre pontos de referência é como se fosse a altura do corpo de prova. Bora lá!

Passo 2

Primeiro a gente precisa do módulo de elasticidade do material. Ele disse que na tensão de escoamento σ e = 315   M P a a deformação é ϵ e =   0,0025   m m / m m . Esse ponto é o limite do regime elástico, então a gente pode usar a lei de Hooke nele

σ e = ϵ e ⋅ E

Isolando o módulo de elasticidade e substituindo nossos dados:

E = σ e ϵ e = 126   G P a

Passo 3

E para que a gente queria esse carinha? Olha esse gráfico aqui para ilustrar:

Então, quando a gente passa do ponto da tensão de escoamento, começamos a ter uma deformação permanente. E como a gente sabe o valor dela? Acontece é que se a tensão for tirada, o corpo vai se recuperar através da reta azul tracejada. Como assim?

Ele vai sair do ponto onde σ = 490   M P a e voltar ao ponto σ = 0 , mas no eixo horizontal, ele não vai estar em ϵ = 0 , mas em ϵ marcado de azul, a deformação permanente. E aí a gente acha esse valor sabendo que a reta tracejada e a reta continua têm a mesma inclinação.

Isso diz que as duas tem o mesmo coeficiente linear, o módulo E ! Por isso, conseguimos calcular o coeficiente de recuperação elástica ( r r e ) como sendo

r r e = 490   M P a E = 490   M P a 126 10 3 M P a ≈ 0,0038889

Dessa forma, podemos calcular a deformação permanente:

ϵ = 0,004 - r p e = 0,4 - 0,0038889 ≈ 0,39611

Passo 4

Por fim, podemos encontrar o alongamento permanente para a então encontrarmos a distância L entre os pontos de referência. Temos que

ϵ = Δ L L 0

Isolando o alongamento e substituindo nossos valores, sabendo que a distância inicial entre pontos de referência é L 0 = 50   m m .

∆ L = ϵ ⋅ L 0

∆ L = 0,39611 ⋅ 50   m m ≈ 19,806 m m  

A distância entre os pontos de referencia vai ser a distância inicial mais o alongamento permanente:

L = L 0 + ∆ L

L = 50   m m + 19,806 m m   = 69,806 m m

Resposta

L = 69,806 m m

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